Was sind erzeugende Elemente und können Nullteiler auch erzeugende Elemente sein?

Question

Die Übersicht ist von http://michael-holzapfel.de/themen/zyklzahl/zyklzahl.htm

Ich habe eine Verständnisfrage:

Wir betrachten (Z6,+)

Warum sind in Z6 nur {1} und {5} erzeugende Elemente und bilden eine zyklische Gruppe, da doch auch 0, 2, 3, 4, alle Elemente erzeugen siehe Tabelle?

Spielt hier die "Platzierung" des neutralen Elements eine Rolle? Da steht ja nur bei der 2 die 1 als letztes Element.. bzw. ist ja bei der Multiplikation die 0 das neutrale Element.

Berechne ich mit der Phi Formel nur die Anzahl der Einheiten oder auch die Anzahl der erzeugenden Elemente? Oder rechnet man für die Anzahl der erzeugenden Elemente Phi (Z*) also im Beispiel (Z6,+) dann Phi (2) ? Aber das ist 1 und es gibt ja offensichtlich 2 erzeugende Elemente.

Answer 1

> Warum sind in Z6 nur {1} und {5} erzeugende Elemente

Weil sie erzeugende Elemente sind:

1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 1 + 1 = 3

1 + 1 + 1 + 1 = 4

1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 0

5 = 5

5 + 5 = 4

5 + 5 + 5 = 3

5 + 5 + 5 + 5 = 2

5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 1

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 0

Und weil die anderen es nicht sind:

2 = 2, 2 + 2 = 4, 2 + 2 + 2 = 0

3 = 3, 3 + 3 = 0

4 = 4, 4 + 4 = 2, 4 + 4 +4 = 0

0 = 0, 0 + 0 = 0

> und bilden eine zyklische Gruppe

Jedes Element erzeugt eine zyklische Gruppe. Zyklische Gruppen sind so definiert.

> Spielt hier die "Platzierung" des neutralen Elements eine Rolle?

Es spielt eine Rolle, dass ggT(6,1) = ggT(6,5) = 1 ist, und dass ggT(6,2) ≠ 1, ggT(6,3) ≠ 1, ggT(6,4) ≠ 1 sind.

> Berechne ich mit der Phi Formel

Ich weiß nicht, welche Formel du meinst.

Comments

Kann es auch Einheiten geben die keine erzeugenden Elemente sind?

zB.: bei (Z*13)berechne ich mit der Phi Formel die Einheiten und komme auf 12. Aber es gibt nur 4 erzeugende Elemente {1,6,7,11}

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> es gibt nur 4 erzeugende Elemente {1,6,7,11}

Und warum ist 2 deiner Meinung nach kein erzeugendes Element?

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2 ist erzeugendes Element, 1 nicht...

trotzdem funktioniert es nicht.

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Was auch noch nicht klar ist: wie werden die Elemente in + verknüpft?

zum Beispiel

2 mit 3

2+3 =5  (Vernüpfungstafel aus Beispiel )

oder

2 wird 3 mal mit sich selbst verknüpft, also 2+2+2 =0?  (So hast du verknüpft)

Die zweite Version macht für mich mehr Sinn, da sich so dann auch besser die Ordnung daraus ablesen lässt. Die besagt doch, wie oft muss ich das Element mit sich selbst verknüpfen, bis das neutrale Element rauskommt.

Oder ist es egal?

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> 2 ist erzeugendes Element, 1 nicht...

Und warum ist 1 deiner Meinung nach kein erzeugendes Element?

> 2+3 =5

Ja, das ist richtig. Das kann man direkt der Verknüpfungstafel entnehmen.

> 2 wird 3 mal mit sich selbst verknüpft

Das steht in der Verknüpfungstafel nicht drin.

> also 2+2+2 =0

Weil 2 + 2 = 4 und 4 + 2 = 0 ist.

> da sich so dann auch besser die Ordnung daraus ablesen lässt

Nicht wirklich. Zum Beispiel ist 3+3+3+3 = 0. Trotzdem ist die Ordnung nicht 4.

> Die besagt doch, wie oft muss ich das Element mit sich selbst verknüpfen, bis das neutrale Element rauskommt.

Das ist richtig.

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Die 1 ist kein erzeugendes Element in (Z*13), da 1^1 , 1^2 , 1^3... 1 mit sich selbst verknüpft in Z* immer eins ergibt.

Welche Ordnung hätte dann 3 in Z6+?

Grüße

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> da ... 1 mit sich selbst verknüpft in Z* immer eins ergibt.

Bei der Erzeugung von Gruppen wird die Gruppenvernüpfung verwendet. und die ist in Z₁₃ die Addition modulo 13. Bezüglich Multiplikation module 13 ist Z₁₃ überhaupt keine Gruppe.

> Welche Ordnung hätte dann 3 in Z6+?

2, weil 3 ≠ 0 und 3+3 = 0.

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Die Aufgabe lautet aber : Finden Sie in der Gruppe (Z*13,*) alle erzeugenden Elemente. Die hat auch der Übungsleiter vorgerechnet und 1 ist bei uns kein erzeugendes Element gewesen.

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Was würdest du sagen, wie viele erzeugende Elemente hat Z15,+ und welche und warum?

8 oder 4 Elemente

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> Finden Sie in der Gruppe (Z*13,*) alle erzeugenden Elemente.

Wie ist (Z*13,*) definiert?

> wie viele erzeugende Elemente hat Z15,+

Wie ist Z15,+ definiert?