Hallo Jasmin Maria,
Du bist anscheinend die einzige, die sich nicht nur für das Ergebnis interessiert, um es in irgendeinem Frage- Antwort-Spiel einzugeben, sondern auch wissen möchte, wie man es rechnet. Daher bekommst Du auch eine ausführlichere Antwort.
Bei der Multiplikation zweier Matrizen werden die Zeilen der ersten mit den Spalten der zweiten multipliziert. Ist
$$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1& 1& 1\\ 4,9 & 6,6 & 8,9 & 10,6 \end{pmatrix}$$
die transponierte Matrix \(A\), so kann man das Produkt \(A^T \cdot A\) so schreiben:
$$\begin{aligned} & \begin{pmatrix} 1& 4,9\\ 1& 6,6\\ 1& 8,9\\ 1& 10,6\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 1 & 1& 1& 1\\ 4,9 & 6,6 & 8,9 & 10,6 \end{pmatrix}& \begin{pmatrix} n & \sum x_i\\ \sum x_i& \sum x_i^2 \end{pmatrix}\end{aligned}$$
D.h die zweite Zeile von \(A^T\) wird mit der zweiten Spalte von \(A\) multipliziert. Damit berechnet sich das Element der Ergebnismatrix unten rechts zu:
$$\sum x_i^2 = 4,9^2 + 6,6^2 + 8,9^2 + 10,6^2 = 259,14 $$
Der Vektor \(\alpha\) ist dann das Ergebnis von folgenden linearen Gleichungssystem
$$(A^T \cdot A) \cdot \alpha = A^T \cdot z$$
$$ \begin{pmatrix} 4& 31\\ 31& 259,14 \end{pmatrix} \cdot \alpha = \begin{pmatrix} 72,42\\ 563,766 \end{pmatrix}$$
Was man auch schreiben kann als
$$\begin{aligned} 4 \alpha_1 &+ 31 \alpha_2 &= &72,42 \\ 31\alpha_1 &+ 259,14 \alpha_2 &= &563,766\end{aligned}$$
wobei \(\alpha_1\) der Achsenabschnitt und \(\alpha_2\) die Steigung der Ausgleichsgeraden ist. Das kann man jetzt mit Additionsverfahren, mit Gauß oder mit einfachem Einsetzen lösen. Das Ergebnis ist in jedem Fall
$$\alpha = \begin{pmatrix} 17,075 \\ 0,13293\end{pmatrix}$$
was Deiner Lösung oben entspricht. Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
