Bestimmen Sie k sodass die Funktion eine Nullstelle hat

Question

gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= 2 x² +kx -4k²x -2k³ mit den (unbekannten) Parometer k∈ℝ.

 Bestimmen Sie k so, dass die Funktion Fk genau eine Nullstelle hat?

Könnte mir jemand erklären wie die Lösung dieser Aufgabe ist?

, ich bin Ihnen sehr dankbar

Answer 1

$$ f_k(x)= 2 x^2 +kx -4k^2 x -2k^3 $$
$$ f_k(x)= 2 x^2 +(k -4k^2) \cdot  x -2k^3 $$
Mittern8sformel verwenden:
$$a=2$$
$$b=k -4k^2$$
$$c=-2k^3$$
Wann ist die Wurzel in der Mittern8sformel gleich Null ?

Comments

Wann ist die Wurzel in der Mittern8sformel gleich Null ?

Ist nicht zeitabhängig?
SCNR

Answer 2

f_k(x)= 2x² + kx -4k²x -2k³  =  2x² + (k -4k²)·x - 2k³

Die quadratische Gleichung hat die Form

ax² + bx + c = 0

mit   a = 2  , b = k -4k² , c =  - 2k³

x_1,2 = ( -b ± \(\sqrt[]{b^2-4ac}\) ) / (2a)     ("Mitternachtsformel")

Genau eine Lösung  (x =1/8)  gibt es also, wenn der Term unter der Wurzel = 0 ist.

 b² - 4ac = 0  ⇔  (k - 4·k²)² - 4·2·(- 2·k³) = 0  ⇔  k² · (16·k² + 8·k + 1) = 0

                        ⇔  k = 0   oder  16·k² + 8·k + 1 = 0 

Eine weitere Lösung k = -1/4  ergibt sich als Lösung von 

 16·k² + 8·k + 1 = 0   wiederum mit der o.g. Mitternachtsformel

Gruß Wolfgang

Answer 3

\(f_k(x)= 2 x^2 +kx -4k^2x -2k^3\)

Da die Funktion nur eine Nullstelle haben soll, liegt der Extrempunkt auf der x-Achse:

\(f_k´(x)= 4x +k -4k^2\)

\( 4x +k -4k^2=0\)

\( 4x=4k^2-k\)

\( x=k^2-\frac{1}{4}k\)

\(f_k(k^2-\frac{1}{4}k)\\= 2 (k^2-\frac{1}{4}k)^2 +k(k^2-\frac{1}{4}k) -4k^2(k^2-\frac{1}{4}k) -2k^3\\=-2k^4-k^3-\frac{1}{8}k^2\)

Da der Extrempunkt auf der x-Achse liegen soll:

\(-2k^4-k^3-\frac{1}{8}k^2=0\)

\(2k^4+k^3+\frac{1}{8}k^2=0\)

\(k^2(2k^2+k+\frac{1}{8})=0\)

Satz vom Nullprodukt:

\(k=0\)

\(2k^2+k+\frac{1}{8}=0\)

\(k=-\frac{1}{4}\)

Comments

Nullstelle, Extremstelle, Maximalstelle, Minimalstelle, Wendestelle -> x-Koordinate

Extremum, Extremwert, Minimum, Maximum -> Funktionswert, also y-Koordinate

Extrempunkt, Hochpunkt, Tiefpunkt, Sattelpunkt, Wendepunkt -> Punkt und die gibt man als Koordinatenpaar (x|y) an.

Da nur Punkte irgendwo im Koordinatensystem liegen, muss es also korrekt heißen, dass der Extrempunkt auf der x-Achse liegt.

Answer 4

$$\begin{aligned} f_k(x) &= 2 x^2 + kx -4k^2 x -2k^3 \\     &= 2 x^2 + \left(k -4k^2\right)\cdot x -2k^3 \\     &= 2\cdot\left( x^2 + \dfrac{k -4k^2}{2}\cdot x -k^3\right) \\     &= 2\cdot\left( x^2 + \dfrac{k -4k^2}{2}\cdot x + \left(\dfrac{k -4k^2}{4}\right)^2  - \left(\dfrac{k -4k^2}{4}\right)^2 -k^3\right) \\     &= 2\cdot\left( x^2 + \dfrac{k -4k^2}{2}\cdot x + \left(\dfrac{k -4k^2}{4}\right)^2  - \dfrac{16k^4-8k^3+k^2}{16} -k^3\right) \\     &= 2\cdot\left( x^2 + \dfrac{k -4k^2}{2}\cdot x + \left(\dfrac{k -4k^2}{4}\right)^2  - \dfrac{16k^4+8k^3+k^2}{16}\right) \\     &= 2\cdot\left( x^2 + \dfrac{k -4k^2}{2}\cdot x + \left(\dfrac{k -4k^2}{4}\right)^2\right) + \dfrac{16k^4+8k^3+k^2}{-8} \\     &= 2\cdot\left( x^2 + \dfrac{k -4k^2}{2}\cdot x + \left(\dfrac{k -4k^2}{4}\right)^2\right) + \dfrac{\red{\left(16k^2+8k+1\right)}\cdot k^2}{-8} \end{aligned}$$ Der rechte Summand ist die y-Koordinate des Scheitels. Sie muss Null werden, wenn \(f_k\)  genau eine Nullstelle besitzen soll. Dies ist genau dann der Fall, wenn der rot markierte Term Null wird.

Das ist wegen $$\red{\left(16k^2+8k+1\right)} = \red{\left(4k+1\right)^2}$$ offenbar nur für \(k=-\dfrac{1}{4}\) der Fall.

Berichtigung nach einem Hinweis von MontyPython:

Ich bin irrtümlich davon ausgegangen, dass \(k\ne 0\) gefordert war, was aber nicht stimmt. Damit ist auch \(k=0\) möglich und die y-Koordinate des Scheitels wird auch in diesem – dem einfachsten – Fall Null.

Comments

... und für k=0.

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... und für k=0.

Ja klar, den einfachsten Fall habe ich glatt ignoriert – dankeschön! Ich hatte noch eine ähnliche Aufgabe im Kopf, bei der von vornherein k ungleich Null vorgegeben war. Ich werde das später mal berichtigen.