Wie kommt man auf diese Umformung? (a^3 - b^3) = (a - b) * (a^2 + ab + b^2)

Question

Abend, 

Wie kommt man eigentlich auf diese Umformung ? Es ähnelt der bino. Formeln, aber ist es nicht..

(a^3 - b^3) = (a - b) * (a^2 + ab + b^2)

 

Answer 1

 

ausmultiplizieren:

(a - b) * (a² + ab + b²) = a³ + a² b  + ab² - ba² - ab² - b³ = a³ - b³  

die farbigen Terme heben sich auf

Man könnte auch eine Polynomdivision  (a³ - b³) : ( a - b) machen.

Gruß Wolfgang

Comments

Die Umformung

von a^3-b^3 zu (a-b) (a^2+ab+b^2)

 ist an sich unklar woher das ab kommt verstehen sie was ich meine ?

Überall im internet steht es, dass es so faktorisiert werden muss..

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Ist es so schwer zu begreifen, dass man - wie in meiner Antwort -

 (a-b) · (a²+ab+b²) ausmultiplzieren kann und dass dann a³- b³  herauskommt? 

Dann muss doch wohl (a-b) · (a²+ab+b²)  = a³- b³ sein, oder nicht? 

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Ist es so schwer zu begreifen, dass man - wie in meiner Antwort - 

 (a-b) · (a²+ab+b²) ausmultiplzieren kann und dass dann a³- b³  herauskommt? 

Dann muss doch wohl (a-b) · (a²+ab+b²)  = a³- b³ sein, oder nicht?

Deine Antwort beantwortet nicht die Frage "Wie kommt man eigentlich auf diese Umformung ?", sie zeigt nur, dass die Umformung stimmt.

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Ich hab das grad mehrmals ausprobiert und endlich hab ich es kappiert.. zu viel Stoff im Kopf.

 Entschuldigen sie mich bitte.. und vielen dank für ihre Bemühung.

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Kein Problem, dafür machen wir das ja :-)

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@gorgar

> Man könnte auch eine Polynomdivision  (a³ - b³) : ( a - b) machen.

Answer 2

Hi

Für alle natürlichen Zahlen n ist (a^n - b^n) durch (a-b) teilbar, das gilt dann auch für n = 3.
Die Gültigkeit der Gleichung (a³ - b³) = (a - b) * (a² + ab + b²) kannst du nachprüfen, indem du die rechte Seite der Gleichung ausmultiplizierst und dann zusammenfasst.

Grüße

Comments

P.S.
Weil (aⁿ - bⁿ)  für alle n ∈ ℕ durch (a - b) teilbar ist ^(*), kannst du auch für n=3 sicher sein, dass es bei der Division (aⁿ - bⁿ) : (a - b) keinen Rest gibt.
Bei kleinen Exponenten wie n=3 kannst du zu Fuß eine Polynomdivision machen.

^(*) Das kann man mit der vollständigen Induktion beweisen.

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Danke sehr das ist am verständlichsten

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@gorgar

Warum sollte man eher auf die Vermutung  ' (aⁿ - bⁿ) ist durch (a-b) teilbar '  "kommen"  als auf   '(a³ - b³) ist durch (a-b) teilbar' ? 

vgl. deinen Kommentar zu meiner Antwort.

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@Gorgar
Warum sollte man eher auf die Vermutung  ' (aⁿ - bⁿ) ist durch (a-b) teilbar '  "kommen"  als auf   '(a³ - b³) ist durch (a-b) teilbar' ? 

vgl. deinen Kommentar zu meiner Antwort

In meinem Kommentar zu deiner Antwort kommt kein n in einem Exponenten vor.
Im Übrigen: vgl. mein Bild(mit der Polynomdivision) in meiner Antwort auf die Frage des FS.

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> In meinem Kommentar zu deiner Antwort kommt kein n in einem Exponenten vor. 

Die Abkürzung  "vgl." ist dir aber wohl bekannt.

Nachtrag:

Im Übrigen hatte ich beim Erstellen meines Kommentars deine Antwort im Kopf, die 15 Minuten vor deinem "Bild (mit der Polynomdivision)" erstellt worden war.

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> In meinem Kommentar zu deiner Antwort kommt kein n in einem Exponenten vor. 

Die Abkürzung  "vgl." ist dir aber wohl bekannt. 

Dir mit Sicherheit auch "Im Übrigen: vgl. mein Bild(mit der Polynomdivision) in meiner Antwort auf die Frage des FS."

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Das hatte ich gerade erläutert.

Und der Hinweis

Man könnte auch eine Polynomdivision  (a³ - b³) : ( a - b) machen. 

stand in meiner Antwort lange vor deinen Kommentaren bei deiner und meiner Antort! 

Answer 3

um mal etwas Licht ins dunkel zu bringen:

schreib mal anstelle von a x:

Dann hast du

f(x)=x^3-b^3

Den Term kann man als Funktion von x auffassen. Da es eine verschobene Potenzfunktion dritten Grades ist , gibt es immer genau eine Nullstelle. Nun kann man bei Polynomen Nullstellen als Linearfaktor abspalten. Dann Faktorisiert der Term in den Linearfaktor und eine Restpolynom einen Grad tiefer. Dieses kann man dann wie folgt berechnen:

(jetzt wieder mit a statt mit x)

Ansatz:

a^3-b^3 = (a-b)*(Aa^2+Ba+C)

Ziel ist es nun A,B,C herauszufinden. Dazu multipliziert man aus und sortiert nach den Potenzen von a:

1a^3+0a^2+0a-1b^3

=Aa^3+(B-Ab)a^2 +(C-bB)a-bC

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor a^n jeweils links und rechts übereinstimmen. Dies ergibt 4 Gleichungen:

A=1

0=B-Ab ---> B= b

0=C-bB

-b^3=-bC ---> C=b^2

Also ist a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Answer 4

Huhu Tigz,

vllt noch ein Ansatz, wenn wirklich nur a^3 - b^3 vorliegt.

Du sollst Du nun faktorisieren. Faktorisieren kann man in dem man bspw die Nullstellen sucht. Das kannst Du (wie in den anderen Antworten bereits beschrieben) über die Polynomdivision erreichen. Um eine Nullstelle durchzuführen, musst Du nun eine Nullstelle finden. Das ist hier recht leicht, trifft nämlich für a = b zu. Damit ergibt sich eine Polynomdivision zu

(a^3 - b^3) / (a - b) = a^2+ab+b^2

Damit hast Du genau was Du brauchst -> a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

Alles klar?

Grüße