Finden Sie zwei Zahlen, die größer als 36 und zugleich Dreiecks- sowie Quadratzahlen sind!

Question

Hallo

Finden Sie zwei Zahlen > 36, die beide jeweils Dreieckszahl und zugleich Quadratzahl sind.
Es gibt zwei Hinweise zur Lösung.

1) Eine Zahl heißt Dreieckszahl, wenn es eine natürliche Zahl x gibt mit  \(n = \sum_{i=1}^{x}{i} = \frac{x(x+1}{2} \)

2) Lösen Sie die Pellsche Gleichung x^2 - 2y^2 = 1. Für die Lösung der Pellschen Gleichung dürfen Sie ein Computerprogramm benutzen.

Answer 1

Die kleinsten derartigen Zahlen sind 35² und 204².

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Wie bringe ich die Lösungen der Pellschen Gleichung mit ins Ergebnis?

Answer 2

Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieckszahl#Quadrat-Dreieckszahlen

Comments

Wie bringe ich die Lösungen der Pellschen Gleichung mit ins Ergebnis?

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x und x+1 sind ja jedenfalls teilerfremd.

Außerdem ist eine der Zahlen gerade und die

andere ungerade.  Damit das halbe  Produkt wieder

eine Quadratzahl ist, muss die gerade Zahl das Doppelte

einer Quadratzahl sein und die ungerade Zahl

muss auch eine Quadratzahl sein.  Man braucht also

zwei Zahlen x und x+1, die sich um 1 unterscheiden

und eine muss eine Quadratzahl sein und die

andere das Doppelte einer Quadratzahl.

Also brauchst du eine Lösung von

z^2 - 2y^2 = 1.

Dann hast du dein  x=z² und x+1 = 2y² .

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Vielen Dank soweit für die gute Erklärung. Ich habe als Lösungen der pellschen Gleichung Folgendes:

\( \begin{aligned}\{x=&-\frac{1}{2}(3+2 \sqrt{2})^{n}-\frac{1}{2}(3-2 \sqrt{2})^{n}, y=-\frac{1}{4} \sqrt{2}((3)\\ &\left.\left.+2 \sqrt{2})^{n}-(3-2 \sqrt{2})^{n}\right)\right\},\left\{x=-\frac{1}{2}(3+2 \sqrt{2})^{n}\right.\\ &-\frac{1}{2}(3-2 \sqrt{2})^{n}, y=\frac{1}{4} \sqrt{2}\left((3+2 \sqrt{2})^{n}-(3\right.\\ &\left.\left.-2 \sqrt{2})^{n}\right)\right\},\left\{x=\frac{1}{2}(3+2 \sqrt{2})^{n}+\frac{1}{2}(3-2 \sqrt{2})^{n}, y\right.\\ &\left.=-\frac{1}{4} \sqrt{2}\left((3+2 \sqrt{2})^{n}-(3-2 \sqrt{2})^{n}\right)\right\},\{x\\ &=\frac{1}{2}(3+2 \sqrt{2})^{n}+\frac{1}{2}(3-2 \sqrt{2})^{n}, y=\frac{1}{4} \sqrt{2}((3)\\ &\left.\left.+2 \sqrt{2})^{n}-(3-2 \sqrt{2})^{n}\right)\right\} \end{aligned} \)

Kann ich die x und y jetzt nur durch probieren rausfinden?