Basen der Unterräume bestimmen. U1 =(u1,u2,u3,u4) ∈R4 | u1 + 2u2 = u3 + 2u4

Question

wir haben zwei Unterräume gegeben .U1 =(u1,u2,u3,u4) ∈R4 | u1 + 2u2 = u3 + 2u4

U2 =(u1,u2,u3,u4) ∈R4 | u1 = u2 + u3 + u4 gegeben.

man soll die Basen der Unterräume U1, U2, U1 ∩U2 und U1 + U2 bestimmen.

Comments

wie bestimme ich die basen? kann mir jemand dabei helfen?:) 

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Können Sie mir das bei a einmal mal bitte zeigen?

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Vom Duplikat:

Titel: Basen der Unterräume U1, U2, U1 ∩U2 und U1 + U2 bestimmen.

Stichworte: unterraum,basis

man soll die Basen der Unterräume U1, U2, U1 ∩U2 und U1 + U2 bestimmen. 

U1 =(u1,u2,u3,u4) ∈R4 | u1 + 2u2 = u3 + 2u4

U2 =(u1,u2,u3,u4) ∈R4 | u1 = u2 + u3 + u4

Bitte kann mir jemand dabei helfen ?

Answer 1

U1 =(u1,u2,u3,u4) ∈R4 | u1 + 2u2 = u3 + 2u4

bzw

U1 =  { (u1,u2,u3,u4) ∈R4 | u1  =   - 2u2  + u3 + 2u4 }

Du hast also eine lineare Gleichung zu erfüllen, dazu kannst du

3 Variable frei wählen, etwa so u2=r   u3=s   u4=t

dann sehen die Elemente von U1 so aus

( -2r + s + 2t ;  r  ; s ,  t )   =

r*( -2 ; 1 ; 0 ; 0 ) + s*( 1 ; 0 ; 1 ; 0 )  + t*( 2 ; 0 ;0 ; 1 )

Damit hast du eine Basis:

( -2 ; 1 ; 0 ; 0 )   ;  ( 1 ; 0 ; 1 ; 0 )  ; ( 2 ; 0 ;0 ; 1 )

entsprechend bei U2.

Für U1 ∩ U2 musst du beide Gleichungen erfüllen, kannst also nur

noch 2 Var. frei wählen.

Answer 2

Lösungen von homogenen linearen Gleichungssystemen können in der Form

        α₁ v₁ + α₂ v₂ + ... + α_n v_n

mit Vektoren v₁, v₂, ..., v_n und Parametern α₁ , α₂, ..., α_n angegeben werden.

U1: Gib die Lösung der Gleichung u1 + 2u2 = u3 + 2u4 in obiger Form an. Die Vektoren bilden dann ein Erzeugendensystem von U1. Entferne gegebenenfalls Vektoren daraus, so dass das Erzeugendensystem linear unabhängig ist.

U2: Wie U1 mit der Gleichung u1 = u2 + u3 + u4.

U1∩U2: wie U1 mit dem Gleichungssystem

        u1 + 2u2 = u3 + 2u4
        u1 = u2 + u3 + u4.

U1+U2: Vereinige die beiden Basen von U1 und U2. Ergebnis ist ein Erzeugendensystem von U1+U2. Entferne gegebenenfalls Vektoren daraus, so dass das Erzeugendensystem linear unabhngig ist.

Comments

Können Sie das einmal mir für a zeigen ?

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@oswald: Sandra hat nun wohl bereits eine Antwort auf die Nachfrage https://www.mathelounge.de/498444?show=498452#a498452

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Diese Antwort war eigentlich mal ein Kommentar :-)

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Zu viele offene Fragen sorgen dafür, dass einige mehrfach Antworten bekommen und andere vergessen gehen ;)