Zeige, dass U ein Untervektorraum ist

Question

Sei L der Vektorraum aller Lösungen f: R-->R der Differentialgleichung

y ' ' ' - y ' ' -5 y ' -3y = 0

Sei U:={f ∈ L | f(x)-->0, wenn x→ ∞ }

Ich soll zeigen, dass U ein Untervektorraum von L ist.

Lin Algebra kommt erst im nächsten Semester, aber die Aufgabe ist leider sehr gegenwärtig :D


Gruß

Answer 1

du musst nur zeigen, dass mit zwei Funktionen \( f \in U \) und \( g \in U \) auch \( f + g \in U \) ist. Dies ist besonders leicht zu zeigen, weil der Ableitungsoperator \( \frac{d}{dx} \) oder einfach das '-Zeichen ein linearer Operator ist. Das heißt (f + g)' = f' + g' (*). Zudem vererbt sich die Eigenschaft \( f \rightarrow 0 \) und \( g \rightarrow 0 \) auch auf die Summe dieser Funktionen: \( f + g \rightarrow 0 \), bzw. für endliche Summen von Elementen in \( U \).

MfG

Mister

(*) L ist ja eigentlich schon als Vektorraum gegeben, somit muss nur die Grenzwerteigenschaft gezeigt werden. Diese erscheint mir aber eigentlich trivial (für endliche Summen von Elementen in U).

Comments

Es muss allerdings noch überprüft werden, ob \(U\) nichtleer und abgeschlossen unter skalarer Multiplikation ist.

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Was aber nicht weniger trivial als der Erhalt der Grenze 0 ist.

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Ja, in diesem Fall schon. Viel interessanter wäre eine inhomogene DGL.

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Du meinst, die Eigenschaft zu zeigen, dass U nicht leer ist?

y ' ' ' - y ' ' -5 y ' -3y = b(x)

mit der Inhomogenität b(x).

Wenn L nicht leer ist, müsste man zeigen, dass U nicht leer ist.

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Aber allgemein kann man nicht sagen, dass L nicht leer ist. Für die Beurteilung, dass U nicht leer ist müsste eine konkrete Inhomogenität b(x) vorliegen.