Stetigkeit einer Beratungsfunktion ermitteln

Question

Hallöchen, ich hänge an dem Beweis, dass die Funktion g(x) |x^2-1| in allen x ∈ R stetig ist, oder eben nicht.

Sollte man dies am besten mit dem Epsilon-Delta-Kriterium lösen?

Comments

Edit: Hab einen Fehler gemacht, ich denke noch mal drüber nach.

Hi,

ja, das Epsilon-Delta-Kriterium ist hier ein richtiger Ansatz.

Du musst also zeigen, dass

$$\forall x,y \in \mathbb{R} \ \exists \delta: \ |x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$

Hierbei darf dein Epsilon sowohl von x und y als auch von Epsilon abhängen. Verwende außerdem, dass $$x^2-y^2=(x-y) \cdot (x+y)$$ gilt.

Zeige, dass $$|f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|< \epsilon$$ gilt für ein geeignetes Delta.

Answer 1

Nochmal ohne Fehler:

Der erste Teiler meines Kommentars ist weiterhin korrekt.

Jedoch nutzen wir $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$ bzw. $$y^2-1=(y-1)(y+1)$$ und die umgekehrte Dreiecksungleichung $$|x-y| \le |x+y|$$ aus.

Es gilt:

$$|f(x)-f(y)|=||x^2-1|-|y^2-1||=| |(x-1)(x+1)| - |(y+1)(y-1)| |$$

Mache nun eine geeignete Abschätzung nach oben mit Hilfe einer Maximums.