Gegeben ist die Folge a(n) = (1-n)/(1+n). Ab welchem n ist a(n) kleiner als -0,999?

Question

Sehr geehrte Damen und Herren,

ich habe gerade eine Hausaufgabe vor mir und bin völlig am Verzweifeln. Rechnen kann ich eigentlich alles, aber ich verstehe die Frage schon gar nicht.

a) Gegeben ist die Folge a(n) = (1-n)/(1+n)

Bilden Sie die ersten 4 GLieder der Folge!

b) Gegeben ist die Folge a(n) = -n/(1+n)

Ab welchem n ist a(n) kleiner als -0,999

Also zu b) bin ich der Meinung, dass ich für "n" doch nur 10,100,1000 etc einsetzen muss, bis ich das Ergebnis raus habe oder? Dann sehe ich ja, ab wann ich kleiner als -0,999 bin, richtig?

Zu a) habe ich wirklich keine Idee was ich da rechnen soll.

Ich hoffe hier kann mir jemand weiterhelfen.

Answer 1

 

 

a)

a_n = (1-n)/(1+n)

Hier setzen wir einfach für 1, 2, 3, 4 etc. für n ein: 

a₁ = (1-1)/(1+1) = 0

a₂ = (1-2)/(1+2) = -1/3

a₃ = (1-3)/(1+3) = -2/4 ( = -1/2 )

a₄ = (1-4)/(1+4) = -3/5

a₅ = (1-5)/(1+5) = -4/6 ( = -2/3 )

a₆ = (1-6)/(1+6) = -5/7

etc.

 

b)

a_n = -n/(1+n)

Das von Ihnen vorgeschlagene Einsetzen von 10, 100, 1000 etc. scheint zu stimmen. 

Formal würde man es so ausrechnen: 

-n/(1+n) < -0,999

Mit (1+n) multiplizieren: 

-n < -0,999 * (1+n)

-n < -0,999 - 0,999n

Auf beiden Seiten 0,999n addieren

-n + 0,999n < -0,999

-0,001n < -0,999

Auf beiden Seiten durch 0,001 dividieren

-n < -999

Auf beiden Seiten mit -1 multiplizieren

n > 999

Also ist a₁₀₀₀ < -0,999

Probe: 

a₁₀₀₀ = -1000/1001 ≈ -0,999000999

a₉₉₉ = -999/1000 = -0,999

 

Besten Gruß

Answer 2

a) Nun, die ersten vier Glieder der Folge sind

a ( 1 ) , a ( 2 ) , a ( 3 ) , a ( 4 )

Setze also für n nacheinander 1 , 2, 3, 4 in die Definition der Folge a ( n ) ein und du erhältst:

a ( 1 ) = ( 1 - 1) / ( 1 + 1 ) = 0 / 2 = 0

a ( 2 ) = ( 1 - 2 ) / ( 1 + 2 ) = - 1 / 3

a ( 3 ) = ( 1 - 3 ) / ( 1 + 3 ) = - 2 / 4 = - 1 / 2

a ( 4 ) = ( 1 - 4 ) / ( 1 + 4 ) = - 3 / 5

 

b) Nun, du kannst es natürlich so machen, wie du es beschrieben hast, aber das ist Ausprobieren - und das mag man nicht so gern in der Mathematik.

Man kann die Antwort auf die Frage natürlich auch rechnerisch bestimmen. Es soll ja gelten: 

a ( n ) < -0,999

Setze also für a ( n ) die Definition ein:

<=> ( 1 - n ) / ( 1 + n ) < - 0,999

und rechne n aus:

<=> 1 - n < - 0,999 ( 1 + n )

<=> 1 - n < -0,999 n - 0,999

<=> 1,999 < 0,001 n

<=> n > 1,999 / 0,001

<=> n > 1999

Also: Ab n = 2000 ist a ( n ) < - 0,999

 

Probe:

a ( 1999 ) = ( 1 - 1999 ) / ( 1 + 1999 ) = - 0,999 ( also ist a ( 1999 )  nicht echt kleiner als - 0,999)

a ( 2000 ) = ( 1 - 2000 ) / ( 1 + 2000 ) = - 0,99900049975... ( also ist a ( 2000 ) echt kleiner als - 0,999 )

Und so war es gefordert.

Comments

Hi JotEs, 

richtige Antwort, falsche Frage :-)

Die Folge in b) lautet a_n = -n/(1+n)

Besten Gruß

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Gott, dass die Antworten so leicht sind, hätte ich nicht gedacht. Danke für deine Hilfe! bzw. EURE!