Matrix Lösungsmenge Basis

Question

1 1 0 1

1 1 2 0

2 2 0 2

0 0 1 1

Hab diese matrix gegeben . Wie bestimme ich die Basis des lösungsraumes des zugehörigen linearen gleichungssystem ?

Answer 1

Hi,

bringe die Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &1 \end{pmatrix} $$

Weißt du nun wie es weiter geht bzw. weißt du wie man auf diese Form kommt? (Stichwort: Gauß-Algorithmus)

Comments

Jaa bis zur Zeilenstufenform bin ich gekommen nur ich weiß nicht wie ich die Basis bestimme ?

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Betrachte nun die Nullzeile(n) und füge auf der Diagonalen überall eine -1 ein wo eine 0 ist, d.h. in unserem Fall nur in der zweiten Zeile, sodass wir

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

erhalten.

Nun ist deine Basis $$ B= \{  (1, -1, 0, 0)^t \}$$

Du musst also einfach die Spalten als Basisvektoren nehmen deren Eintrag auf der Diagonalen eine -1 ist.

Im Fall

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

wäre die Basis also

$$ B= \{  (1, -1, 0, 0)^t , (0,0,0,-1)\}$$