Gegeben sei folgende Matrix in Abhängigkeit von α ∈ ℝ
Aα= (-3 6 -3 4 3 0 2α 3 6 0 2 2 3 3 1 1-α )
Bestimmen in Abhängigkeit von α ∈ ℝ
a) Die Determinante von Aα b) Den Rang von Aα
c) Eine Basis des Kerns von Aα (Hinweis: Die Basis von <0> ist die leere Menge.
d) Die Dimension der Lösungsmenge Lα des linearen Gleichungssystems Aαx=b für den Vektor b = (1,1,2,2)T ∈ ℝ
a) Die Determinante habe ich schon durch Entwicklung nach der 2. Spalte herausbekommen es kommt ein Ergebnis in Abhängigkeit von α rausb) Für den Rang habe ich die Determinante mit 0 gleichgesetzt um zu schauen für welche Werte sie 0 ergibt, da es eine quadratische Gleichung war gab es 2 α, durch das anschließen dieser beiden musste der Rang 4 sein, denn der Rang einer Matrix ist dann voll wenn die Determinante ≠ 0 ist. Anschließend habe ich durch Elementare Zeilenumformung heraus bekommen, dass die Matrix für diese 2 α eine Rang 3 besitzt.
c) Hier beginnt das Problem für mich, es ist nach einer Basis gefragt, eigentlich ist durch die Dimensionformel ja bekannt, dass wenn wir die beiden alphas anschließen, die Dimension des Kerns = 0 sein muss.dim(Kern)= dim (Matrix) - dim (Bild) = 4-4 = 0heißt, dass das eine Basis jetzt einfach die leere Menge ist? Wäre damit die Frage genügend beantwortet?
d) Auch bei dieser Teilaufgabe komme ich leider nicht weiter, hier habe ich ebenfalls wieder versucht mit dem Vektor eine elementare Zeilenumformung durchzuführen, habe dann die Diagonalelemente mit 0 gleichgesetzt und herausgefunden, dass es keine Lösung gibt. Aber ob das jetzt richtig war und was jetzt meine Dimension ist weiß ich leider trotzdem nicht.
Ich hoffe ihr könnt mir beim Lösen helfen. :/
