Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig beweise oder widerlege

Question

Ich soll beweisen oder widerlegen, ob die folgenden Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind:

1.     ([1],[0],[1]),([1],[1],[0]), ([0],[1],[1]) sind linear unabhängige Vektoren im ℤ₂ Vektorraum (ℤ₂)³2.     1+i und 2-i sind linear unabhängige Vektoren im ℝ Vektorraum ℂ3.     1+i und 2-i sind linear unabhängige Vektoren im ℂ Vektorraum ℂ


Zu 1. Zur Vereinfachung hab ich die eckigen klammer jetzt weggelassen.ich erhalten dann die folgenden Gleichungena1*1+a2*1+a3*0=0a1*0+a2*1+a3*1=0a1*1+a2*0+a3*1=0
Doch wie kann ich diese Gleichungen lösen? Ich bin mir da sehr unsicher weil die 0 und die 1 ja immer Restklassen sind
zu 2. und 3.Hier weiß ich leider nicht genau wie ich die beiden berechnen soll.Ich habe doch
a1*(1+i) + a2*(2-i)=0Oder habe ich da einen Denkfehler und was sind die Unterschiede bei der Berechnung von 2. und 3.?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe

Comments

Zu 1)

Das Gaussverfahren funktioniert in jedem Koerper, also auch in ℤ₂. Alternativ waere zu bemerken, dass es ueberhaupt nur acht potentielle Lösungen gibt. Probiere die einfach alle durch.

Zu 2) und 3)

Der Unterschied ist, dass in der Gleichung \(\alpha(1+i)+\beta(2-i)=0\) ein Mal \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) sein muss und ein Mal auch \(\alpha,\beta\in\mathbb{C}\) sein darf.

Answer 1

Gleichungen

a1*1+a2*1+a3*0=0

a1*0+a2*1+a3*1=0

a1*1+a2*0+a3*1=0

In jeder Gleichung kommen genau

zwei Variable mit dem Faktor 1 vor, also

ist z.B.  ( 1 ; 1 ; 1 ) eine Lösung, also

sind die Vektoren lin. abhängig.

zu 2. und 3.
a1*(1+i) + a2*(2-i)=0

<=> (a1+2*a2) + (a1-a2)*i = 0

über ℝ betrachtet hast du dann beide

Klammern gleich 0, woraus sich a1=a2=0 ergibt,

also sind sie im ℝ-Vektorraum lin. unabh.

Aber über ℂ betrachtet bekommst du

a1*(1+i) + a2*(2-i)=0

<=>    a1*(1+i) =  - a2*(2-i)

<=>  a1 =  - a2*(2-i)/(1+i)  =  a2 *(-2+i) /(1+i) = a2* ( -1/2 + (3/2) i )

also wäre etwa a1 =   -1/2 + (3/2) i   und   a2 = 1   eine nichttriviale Lösung,

also sind hier die Vektoren lin. abh.

Das letzte ist ein Spezialfall der Erkenntnis, dass jeder Körper als

Vektorraum über sich selbst betrachtet 1-dimensional ist, es gibt also

keine 2 lin. unabhängigen Elemente.