momentane Änderungsrate von F( x1 , x2 )= 1 - 5 x1^3 +4 x2^3 +3 x1^3 x2^2 +3 x1 . (mein Rechenweg)

Question

Gegeben sei die Funktion

F( x₁ , x₂ )= 1 - 5 x₁³ +4 x₂³ +3 x₁³ x₂² +3 x₁ . 

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des zweiten Arguments bei Erhöhung des ersten Arguments um eine marginale Einheit an der Stelle a=(3,2.5) und unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F.

Erkennt jemand meinen Fehler?

Habe die Partielle Ableitung gemacht

x₁ ableiten : -36(3x²₂ -5)

x₂ ableiten: 6x₂ (x³+2x₂₎

dann eingesetzt:

3•3² (3 • 2.5²- 5) +3 / -36 (3•2.5²-5) = -0.594047619

leider ist das Ergebnis falsch.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmung der momentanen Änderungsrate: F( x1 , x2 )=16·ln( x1 )+56·ln( x2 ).

Stichworte: änderungsrate,funktion,unternehmen,rohstoffe

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion

q=F( x1 , x2 )=16·ln( x1 )+56·ln( x2 ).

Dabei bezeichnen x1 und x2 die eingesetzten Mengen der Rohstoffe A und B und q=F( x1 , x2 ) die pro Monat hergestellte Menge des Produkts. Im Moment verwendet der Hersteller die Faktorkombination ( x1 , x2 )=(6,6). Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von Faktor B bei Erhöhung von Faktor A um eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von F(6,6) Mengeneinheiten.

Könnte mir bitte jemand sagen, ob ich das richtig ausgerechnt habe? :)

f ´ x1 = 16/x1

f ´ x2 = 56/x2

F ´(6) = erste durch zweite Ableitung = 16/6 geteilt durch 56/6 = 0,28571...

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F( x₁ , x₂ )= 1 - 5 x₁³ +4 x₂³ +3 x₁³ x₂² +3 x₁ .

richtige Darstellung der Formel

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Hast du genug Klammern um Zähler und Nenner eingegeben?

Vielleicht so

(3•3² (3 • 2.5²- 5) +3) / (-36 (3•2.5²-5) ) ?

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Danke Lu,

ja jetzt könnte das Ergebnis stimmen mit -0.756060

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Von etwas besserer falscher Version:

Titel: Produktionsfunktion für Rohstoffe

Stichworte: produktionsfunktion,produktion,lineare-algebra

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen und her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion

=(1,2)=3+8₁^6+8₂+9³₁⁶₂+8^4₁.

Dabei bezeichnen 1 und 2 die eingesetzten Mengen der Rohstoffe und und =(1,2) die hergestellte Menge des Produkts. Zurzeit stehen 2.3 Tonnen des Rohstoffs und 1.2 Tonnen des Rohstoffs zur Verfügung. Es besteht die Möglichkeit, die Zulieferung des Rohstoffs um 1.2 Tonnen zu steigern, während die Zulieferungen des Rohstoffes in Zukunft um 0.6 Tonnen sinken werden.

Wie wird sich die marginale Produktion durch die veränderten Zulieferungen verändern?

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Vom Duplikat:

Titel: Gut aus zwei Rohstoffen. usw. Wie hoch sind in dieser die Kosten?

Stichworte: produktionsfunktion,produktion,lineare-algebra

Aufgabe:

Ein Unternehmen stellt ein Gut aus zwei Rohstoffen und her. Die herstellbare Menge des Gutes hängt ab von den Mengen an eingesetzten Rohstoffen gemäß der Produktionsfunktion

Unten im Kommentar / in der Antwort die korrekte Funktion? 

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute

(1,2)=621+6712+622,
wobei 1 und 2 die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren und bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 71 bzw. 67 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 5956 Mengeneinheiten gefertigt werden. Für die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren und existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle. Wie hoch sind in dieser die Kosten?

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Hier stimmt was nicht.

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Hat sich der Gast in der Zwischenzeit wieder angemeldet und eine korrekte Fragestellung eingestellt?

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Bei den "Ähnlichen Fragen" unten werden eine ganze Reihe ähnlicher Fragen angezeigt. Es lässt sich aber nicht erkennen, ob ein Duplikat darunter ist. Es sieht nicht danach aus.

Answer 1

Wieso hängt die Ableitung nach \( x_1 \) nur von \( x_2 \) ab? Das ist doch falsch!

Comments

Hallo Ullim,

danke für deine Aufmerksamkeit, jetzt sehe ich es auch!

Ich habe jetzt nochmal versucht partiell Abzuleiten, und bekam diese Ableitungen:

Part. Ableitung x₁: 3x₁² (3x_2² -5) +3

Part.Ableitung x₂: 6x₂ (x³+2x₂)

dann habe ich die 3 für x₁ eingesetzt und die 2.5 für x₂

habe dann 0,000512918 herausbekommen.

vermute, dass dieses Ergebnis falsch ist

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Du hast eine Funktion in zwei Veränderlichen \( x \) und \( y \) und zwar

$$ F(x,y) = 1 - 5x^3+4y^3+3x^3 y^2 +3x  $$

Das totale Differential ist

$$ dF(x,y) = \frac{\partial{F}}{ \partial{x}} dx + \frac{\partial{F}}{ \partial{y}} dy $$

Da das Niveau beibehalten werden soll, gilt \( dF(x,y) = 0 \) also

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} $$

Es gilt \( F_x = 9 x^2 y^2 - 15 x^2 +3  \) und \( F_y = 6 y (x^3 + 2y) \) und damit ergibt sich

$$ \frac{dy}{dx} = -0.7797 $$

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vielen Dank Ullim für deine Hilfe

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Wie funktioniert es aber wenn es genau anders rum ist?

"Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von Faktor A bei Erhöhung von Faktor B um eine marginale Einheit und unter Beibehaltung des Produktionsniveaus von F(4,2) Mengeneinheiten."

Also, dass sich Faktor B um eine marginale Einheit ändert und nicht A??