Zeige, dass h(x) die Funktion f(x)=3/4(x^2-5x+4) berührt.

Question

K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x)=3/4(x^2-5x+4)

Zeigen sie: die ursprungsgerade h mit der Steigung m=-3/4 berührt K. Geben Sie die Koordinaten des berührpunktes an. Welche auf der Geraden h senkrecht stehenden Gerade schneidet K in P(3|f(3))?

Answer 1

> die ursprungsgerade h mit der Steigung m=-3/4 ...

... hat die Funktionsgleichung

        h(x) = -3/4 x

> ... berührt K

Das heißt für ein x₀ gilt

(1)        K'(x₀) = -3/4

(2)        K(x₀) = h(x₀)

Finde dieses x₀ indem du das Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen (1), (2) löst.

> Geben Sie die Koordinaten des berührpunktes an

Der Berührpunkt hat die Koordinaten (x₀|h(x₀)).

> Welche auf der Geraden h senkrecht stehenden Gerade ...

Die hat die Funktionsgleichung g(x) = m_g x + n und es ist

(3)        m_g = -1/m

> ... schneidet K in P(3|f(3))

Also ist

(4)        g(3) = f(3).

Löse das Gleichungssystem bestehend aus den Gleichungen (3), (4).

Answer 2

K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x)=3/4(x²-5x+4)

Zeigen sie: die ursprungsgerade h mit der Steigung m=-3/4 berührt K. Geben Sie die Koordinaten des berührpunktes an.

f ´( x ) = -3/4
f ´( x ) = 3/4 * ( 2x - 5 )
3/4 * ( 2x - 5 ) = -3/4
2x - 5 = -1
2x = 4
x = 2
f ( 2 ) = 3/4 ( 2^2 - 5*2 + 4 ) = 3/ 4 * ( -2 )
Ursprungsgerade = -3/4 * 2
die Koordinaten stimmen überein.
( 2 | -1.5 )

Welche auf der Geraden h senkrecht stehenden
Gerade schneidet K in P(3|f(3))?

m von g = -1 / (-3/4) = 4 / 3

f ( 3 ) = 3/4 * ( 3^2 - 5 * 3 + 4 ) = -1.5
-1.5 = 4/3 * 3 + b
b = - 5.5

g ( x ) = 4/3 * x - 5.5

Answer 3

K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x)=3/4*(x²-5x+4)

Zeigen Sie: Die Ursprungsgerade h mit der Steigung m=-3/4 berührt K. Geben Sie die Koordinaten des Berührpunktes an.

Der einfachste Ansatz ist hier wohl dieser:

$$ \begin{aligned} f(x) &= h(x) \\\,\\\dfrac 34 \cdot \left(x^2-5\cdot x + 4 \right) &= -\dfrac 34\cdot x \\\,\\x^2-5\cdot x + 4 &= -x \\\,\\x^2-4\cdot x + 4 &= 0 \\\,\\\left(x-2\right)^2 &= 0 \\\,\\ x &= 2.\end{aligned} $$Da Parabel und Gerade nur die eine Schnittstelle \(x=2\) aufweisen, ist die Gerade auch tatsächlich Tangente der Parabel. Der Berührpunkt ist

$$\left(2 \mid h(x)\right) = \left(2 \mid -\dfrac 32\right).$$