Steckbriefaufgabe: Eine Parabel 4. Ordnung berührt die x-Achse

Question

Eine Parabel 4. Ordnung berührt die x-Achse in P(2/0) und hat im Koordinatenursprung einen Wendepunkt, dessen Tangente gegen die x-Achse unter 45° geneigt ist.

Gesucht: Funktionsgleichung

Answer 1

"Eine Parabel 4. Ordnung berührt die x-Achse in P(2|0) und hat im Koordinatenursprung einen Wendepunkt, dessen Tangente gegen die x-Achse unter 45° geneigt ist."

Linearform der Parabel 4.Grades:

f(x)=a*[x*(x-2)^2*(x-N)]

f´(x)=a*[(x-2)^2*(x-N)+x*2*(x-2)*(x-N)+x*(x-2)^2]=

=a*[-3Nx^2+8Nx-4N+4x^3-12x^2+8x]

f´(0)=a*[(0-2)^2*(0-N)]=-4a*N

1.)-4a*N=1

f´´(x)=a*[-6Nx+8N+12x^2+8]

f´´(0)=a*[8N+8]

2.)a*[8N+8]=0

a=0,25    N=-1

f(x)=0,25*[x*(x-2)^2*(x+1)]

Answer 2

Hi,

gehe vor wie sonst und versuche die Bedingungen herauszulesen.

f(2)=0   (wegen P)

f'(2)=0  (wegen Berühreigenschaft)

f(0)=0    (wegen O(0|0))

f''(0)=0   (Wendepunkteigenschaft)

f'(0) = 1  (Ist um 45° geneigt, ist nichts anderes als die Steigung 1 (oder -1). Da ist mir nicht ganz klar in welche Richtung. Ich nehme mal die mathematische Richtung an, also eine Verkippung "nach oben")


Sich ergebendes Gleichungssystem:

16a + 8b + 4c + 2d + e = 0

32a + 12b + 4c + d = 0

e = 0

2c = 0

d = 1


Das löst sich recht schnell  und man kommt auf f(x) = 0,25x^4-0,75x^3+x


Grüße