Höhenschnittpunkt eines Dreiecks berechnen mit A(-3/1) B(5/-3) C(1/5)

Question

Hallo.
Ich habe ein Problem beim Berechnen der Gleichungen der Höhen und der Höhenschnittpunkte eines Dreiecks.
Es sind die Punkte des Dreiecks gegeben:
A(-3/1) B(5/-3) C(1/5)
Finde leider keinen Lösungsansatz und Hoffe mir kann hier geholfen werden ; )

Answer 1

A(-3/1) B(5/-3) C(1/5)

Steigung zwischen A und B

mAB = (y1 - y2) / (x1 - x2) = (1 - (-3)) / (-3 - 5) = -1/2

Steigung zwischen A und C

mAC = (y1 - y2) / (x1 - x2) = (1 - 5) / (-3 - 1) = 1

Gerade durch C mit Steigung senkrecht zu mAB

gC(x) = 2 * (x - 1) + 5 = 2x + 3

Gerade durch B mit Steigung senkrecht zu mAC

gB(x) = -1 * (x - 5) - 3 = 2 - x

Höhenschnittpunkt gC(x) = gB(x)

2x + 3 = 2 - x
3x = -1
x = -1/3

gC(-1/3) = 2(-1/3) + 3 = 7/3
gB(-1/3) = 2 - (-1/3) = 7/3

Höhenschnittpunkt wäre damit S(-1/3, 7/3)

Comments

Steigung = Vektor? Könntest du das vielleicht mit einer Zeichnung verdeutlichen?

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Ich habe hier nur die Geometrie der 8/9 Klasse benutzt. Lineare Funktionen. Ich habe hier extra nicht mit Vektoren gerechnet obwohl man das auch könnte. Vektoren haben den Vorteil das auch senkrechte Geraden möglich sind.

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Achso. Dann bräuchte ich diese Rechnung mit Vektoren.

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Ich habe das mal probiert eben mit Vektoren allgemein durchzurechnen.
Sei A(0,0), B(a,b) und C(c,d)

dann habe ich als Höhenschnittpunkt

[(d - b)·(a·c + b·d)/(a·d - b·c), (a - c)·(a·c + b·d)/(a·d - b·c)]

heraus. Geprüft ist das nicht. Das kannst du eventuell machen.
Wenn eine Koordinate nicht null ist dann zieht man diese einfach von den anderen ab. Nachher ist die Koordinate dann wieder aufzuaddieren.

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Wie kommst du auf 2* und -1*?

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Ich brauche von den ermittelten Steigungen die Senkrechte. Die bekommt man über

-1/m

Also

-1/(-1/2) = 2

-1/(1) = -1

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Wie kommst du auf diese geradengleichung?

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Welche Zeile verstehst du denn an der Rechnung von Mathecoach (Antwort) nicht?

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Ab  gerade durch c wie man auf diese Rechnung komm

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Er hat die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung benutzt.

Gerade durch C mit Steigung senkrecht zu mAB    (-> Steigung ist -(1(-1/2)) = 2)

gC(x) = 2 * (x - 1) + 5 = 2x + 3

Steigung ist 2, und Punkt C(1|5) .

Mehr dazu: https://de.wikipedia.org/wiki/Punktsteigungsform#Darstellung