Hallo Justin,
2-adische Entwicklung einer Zahl \(x\) bedeutet, dass \(x\) in der Form
$$x= a_1 2^{-1} + a_2 2^{-2} + a_3 2^{-3} + a_4 2^{-4} + ... \quad a_i \in \{0;1\}$$
dargestellt wird. Beispielsweise ist \(0,01_2 = 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} =0,25\). Umgekehrt erhält man die 2-adische Entwicklung von \(0,18279\) indem man sie bzw. den Rest immer wieder mit einer Potenz von 2 vergleicht und immer wenn der Rest größer als die entsprechende Potenz ist, wird diese abgezogen und die (Nachkomma-)Ziffer auf 1 gesetzt.
$$0,18279 < 2^{-1}=0,5$$
$$0,18279 < 2^{-2}=0,25$$ d.h. die erste beiden Nachkommastelle sind \(=0\).
$$0,18279 \ge 2^{-3}=0,125$$
die dritte Nachkommastelle ist eine \(1\), hier ist der Rest größer. Jetzt wird noch die Zweierpotenz \(2^{-3}\) abgezogen und mit dem Rest geht es weiter:
$$0,18279 - 0,125 = 0,05797 < 2^{-4} = 0,0625$$
Die vierte Nachkommastelle ist wieder eine \(0\). Als Tabelle bis neun Komamstellen sieht das so aus:
| i | Rest | 2^{-i} | Ziffer |
| 1 | 0,18297
| 0,5 | 0 |
| 2 | 0,18297
| 0,25 | 0 |
| 3 | 0,18297
| 0,125 | 1 |
| 4 | 0,05797
| 0,0625 | 0 |
| 5 | 0,05797
| 0,03125 | 1 |
| 6 | 0,02672 | 0,015625 | 1 |
| 7 | 0,011095
| 0,0078125 | 1 |
| 8 | 0,0032825 | 0,00390625 | 0 |
| 9 | 0,0032825
| 0,001953125 | 1 |
richtig gerundet wird aus der 8'ten Nachkommastelle eine 1. Somit ist
$$0,18297 \approx 0,00101111_2$$
Der Fehler ist die Differenz zwischen dem Rest der 8'ten Zeile und \(2^{-8}\) und ist \(=-0,00062375 \lt 2^{-9}\).
(ii) ist einfach. Aus \(0010\) wird \(2\) und aus \(1111\) wird \(15_d=\text{F}_{16}\)
$$0,18297 \approx 0,00101111_2=0,2\text{F}_{16}$$
(iii) Die Periode \(a=0,212212..._{q}\) kann man schreiben als
$$a= 2q^{-1} + 1q^{-2} + 2q^{-3} + 2q^{-4} + 1q^{-5} + 2q^{-6} + ...$$
$$\space = (2q^{-1} + 1q^{-2} + 2q^{-3}) + q^{-3}(2q^{-1} + 1q^{-2} + 2q^{-3}) + q^{-6}(...) + ...$$
$$\space = \sum_{i=0}^{\infty} q^{-3i}(2q^{-1} + 1q^{-2} + 2q^{-3}) = \frac{q^3}{q^3-1}(2q^{-1} + 1q^{-2} + 2q^{-3})$$
nach Ausmultiplizieren erhält man
$$a=\frac{2q^2 + q + 2}{q^3-1} = \frac{m}{n}$$
Also \(m= 2q^2 + q + 2\) und \(n=q^3-1\)
