q-adische Entwicklung einer Zahl a

Question

kann mir vielleicht jemand hier weiterhelfen?

Es sei \( q \in \mathbb{N} \) mit \( q \geq 3 \) und \( 0,212212 \ldots \) (d. h. der Ziffernblock 212 wiederholt sich periodisch) die \( q \) -adische Entwicklung einer Zahl \( a \in \mathbb{R} . \) Bestimmen Sie von \( q \) abhängige Zahlen \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( a=\frac{m}{n} \)

 Vielen Dank im voraus.

LG

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https://www.mathelounge.de/633150/die-b-adische-entwicklung-durch-geometrische-reihe und andere ähnliche Fragen gesehen und gelesen?

Answer 1

Sei \(q=7\), dann ist $$a=\dfrac{212}{342}$$ (Hoffentlich habe ich nicht zuviel verraten.)

Comments

Kannst du mir eventuell verraten wie du auf die 342 kommst? Ich habe bei diesem Thema echt Schwierigkeiten.

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Ok, \(342=7^3-1\) und beruht auf Überlegungen aus dem Klasse-6-Unterricht (Zahlensysteme, b-adische Entwicklung, Divisionsalgorithmus usw.). Vielleicht helfen ein paar Beispiele mit \(q=10\).

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Vielen lieben Dank

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Ich weiß net, aber

212/342*7=4.33918128655

die erste Ziffer der 7-adischen Entwicklung ist 4 und nicht 2...

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@w: Wieso ist 212/342*7=4.33918128655 eine 7-adische Entwicklung?

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Wie oft geht 1/7 in 212/342 ==> 212/342 : 1/7 = 212/342*7 = 4.irgendwas

Ich hab gesagt die 7-adische Entwicklung von 212/342 beginnt mit 0.4....

sollte sie nicht mit 0.2... beginnen - oder hab ich was flasch verstanden?

Answer 2

erstaunlich, dass eine IMHO offensichtlich falsche Antwort so (fast) ohne Widerspruch bleibt. Eine p-adische Entwicklung einer Zahl \(0 \le x \lt 1 \) besteht doch wohl in der Folge

$$x = \sum_{i=1}^{\infty} a_i q^{-i}, \quad a_i \in \mathbb{N}_0 \land a_i \lt q$$im obigen Fall ist \(a_1=2\), \(a_2=1\) und \(a_3=2\) und für alle weiteren \(a_i\) gilt wegen der Periode$$a_{3i+1} = 2, \space a_{3i+2} = 1, \space a_{3i} = 2 \quad i \in \mathbb{N}$$Hier gilt$$\begin{aligned} x & = 0,\overline{212}_q\\ x \cdot q^3 &= 2\cdot q^2 + 1\cdot q + 2 + \sum_{i=1}^{\infty} a_i q^{-i} \quad a_i \to \text{s.o.}\end{aligned}$$

Also ist $$\begin{aligned} x\cdot q^3 - x &= 2\cdot q^2 + 1\cdot q + 2 \\ x &= \frac{2q^2 + q + 2}{q^3 - 1}\end{aligned}$$Und für \(q=3\) oder \(q=7\) bedeutet das dann:$$x_{q=3} = 0,\overline{212}_3 = \frac{2 \cdot 3^2 + 3 + 2}{3^3-1} = \frac{23}{26} \\ x_{q=7} = 0,\overline{212}_7= \frac{2 \cdot 7^2 + 7 + 2}{7^3-1} = \frac{\colorbox{#ffff00}{107}}{342}$$

Gruß Werner

Comments

Da war doch nochwas - als Franke tut man sich mit badischen Zahlen schwer ;-)

Danke, das Du nochmal am Strang ziehst - ich kann Deine Lösung bestätigen.

\(\small \sum_{k=1}^{∞}\frac{2}{a^{3 \; k - 2}} + \frac{1}{a^{3 \; k - 1}} + \frac{2}{a^{3 \; k}}\) ===>

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Meine Antwort ist im wesentlichen nicht die Lösung der Aufgabe, sondern ein Beispiel zur Veranschaulichung, nämlich $$ a = \dfrac{212_7}{342_7} = 0.\overline{212}_7 $$dargestellt und nachrechenbar im Stellenwertsystem zur Basis q=7. Ich hatte nicht die Absicht, mich dabei ins 10er-System zu begeben.

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Gast az0815 schrieb:

ein Beispiel zur Veranschaulichung, nämlich$$a = \dfrac{212_7}{342_7} = 0.\overline{212}_7$$

IMHO müsste es heißen:$$a = \dfrac{212_7}{342_{\colorbox{#ffff00}{10}}} = 0,\overline{212}_7$$oder? Oder vielleicht gleich ganz allgemein$$a = \frac{212_q}{1000_q-1} = 0, \overline{212}_q$$

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Ja, Dankeschön fürs Mitdenken, ich hatte zunächst einen möglichen Fehler im Zähler gesucht, mein Denkfehler war aber die falsche Basis des Nenners. Ich versuche es noch einmal ausführlich.

Beispiel: $$a = \dfrac{212_7}{\left(10^3-1\right)_7} = \dfrac{212_7}{666_7} = 0.\overline{212}_7 \\[20pt] \phantom{a} = \dfrac{\left(2\cdot 7^2+1\cdot 7^1+2\cdot 7^0\right)_{10}}{\left(7^3-1\right)_{10}} = \dfrac{107_{10}}{342_{10}}$$

Allgemein: $$a = \dfrac{212_q}{\left(10^3-1\right)_q} = 0.\overline{212}_q \\[20pt] \phantom{a} = \dfrac{\left(2\cdot q^2+1\cdot q^1+2\cdot q^0\right)_{10}}{\left(q^3-1\right)_{10}} $$