Konvergenzradius / Randverhalten

Question

Hallo wie bestimmt man den Konvergenzradius dieser Potenzreihen bzw. das Verhalten an den Randpunkten?

1) $$ \sum_{n=0}^{\infty}({\frac{x}{3^n}})^n $$ hier konnte ich den Konvergenzradius r = $$ \infty $$ ermitteln, aber wie lässt sich hier das Konvergenzverhalten am Rand untersuchen?

2) $$ \sum_{n=0}^{\infty}{\begin{pmatrix}  s \\ n \end{pmatrix}}x^n $$ $$ s\in\mathbb{R} $$  $$ $$ \begin{pmatrix}  s \\ n \end{pmatrix} := $$ \frac{s(s-1)...(s-n+1)}{n!} $$

Mit der Formel von Euler erhalte ich $$ \frac{s(s-1)...(s-n+1)(n+1)}{s(s-1)...(s-n+2)} $$ Herauskommen soll aber $$ \frac{n+1}{s-n} $$. Wie erhält man dieses Ergebnis und damit den Konvergenzradius 1? Wüsste nicht, wie ich da kürzen soll.

Answer 1

Hi,

es gilt:

$$ \frac{\binom{s}{n}}{\binom{s}{n+1}} = \frac{(n+1)! \cdot (s-n-1)!}{n! \cdot (s-n)!}= \frac{n+1}{s-n}$$

Wie kannst du den Term noch umschreiben? Tipp: Tu was mit dem n.

Comments

\(\frac{\binom sn}{\binom sn}=1\), falls \(\binom sn\ne0\).

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Hi danke für den Hinweis. Verstehe nicht ganz, wie du von $$ \frac{\begin{pmatrix}  s \\ n \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}  s \\ n+1 \end{pmatrix}} $$ auf $$ \frac{(n+1)!(s-n-1)!}{n!(s-n)!} $$ und somit auf $$ \frac{n+1}{s-n} $$ gekommen bist.

Habe $$ \frac{n+1}{s-n} $$ so umgeschrieben $$ \frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(\frac{s}{n}-1)} $$ n kürzt sich ja weg und somit konvergiert der Zähler gegen 1. Aber wie ist es beim Nenner, wenn nicht bekannt ist, ob s größer als n ist?

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s ist ja eine Konstante :) 

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Okay :D, also konvergiert der Bruch gegen -1. Aber wieso ist der Konvergenzradius dann 1?

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Für den Konvergenzradius betrachtest du ja den Betrag des Limes :) 

$$\lim_{ n \to \infty} |\frac{1+\frac{1}{n}}{\frac{s}{n}-1}|=1$$

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Stimmt natürlich :D danke!