Beweisen Sie, dass die Menge Abb( X,V ) = { f : X → V Abbildung } mit der Addition ( f + g )( x ) := f ( x ) + g ( x ) und der skalaren Multiplikation ( λ · f )( x ) := λ · V f ( x ) ein K -Vektorraum ist.
Du musst einfach die Vektorraumaxiome überprüfen. Etwa so: Mit W=Abb( X,V ) ist
1. (W,+) eine kommutative Gruppe.
2. Distributigesetze etc. ................
Um 1. zu prüfen brauchst du dann
a) W ist gegenüber + abgeschlossen.
Nachweis: Seien f,g aus W. Dann ist nach Def. von + (siehe Aufage)
f+g die Abbildung f+g : X __> V mit (f+g)(x) = f(x)+g(x) für alle x∈X,
also auch ein Element von W.
b) + ist assoziativ
Nachweis: seien f,g,h aus W. Dann sind (f+g)+h und f+(g+h)
Abbildungen von X nach V und um deren Gleichheit zu zeigen, muss man
prüfen, ob für alle x ∈ X gilt ( (f+g)+h )(x) = ( f+(g+h) )(x) .
Sei also x ∈ X dann gilt (mehrfache Anwendung der Def. von +)
( (f+g)+h )(x) = (f+g)(x) +h(x) = ( f(x)+g(x) )+h(x)
wegen der Assoziativität von + in V gilt dann
= f(x)+ ( g(x) +h(x) )
Jetzt die Def. von + andersherum anwenden führt
dann auf ..................... ( f+(g+h) )(x) .
Und so fort für alle Axiome. Ist lang aber nicht schwierig !
c) W besitzt ein neutr. El. n
d) Zu jedem f∈W gibt es ein g mit f+g = n
e) Für alle f,g aus W gilt f+g = g+f
