Autobahntrasse - wie lang ist der Tunnel?

Question

folgende Aufgabe wurde gestellt:

Zwischen den zwei Orten A und B soll eine neue Autobahntrasse errichtet werden, die zwischen den Orten M und N durch einen Tunnel führt. Zur Berechnung der Tunnellänge werden von einem außerhalb der Trasse liegenden Punkt C folgende Daten gemessen:

CB=7200m, CA=5750m, ACB=102,3°, ACM=21,8°, BCN=30°

Zeichnen Sie eine Grafik und berechnen Sie die Länge des Tunnels.

Also mein Problem liegt erstmal bei der Grafik. Wie zeichnet man denn so etwas? Also C ist ja zB der Winkel zwischen A und B, oder? Aber wo lege ich denn optimalerweise das Geodreieck an um ein richtiges Ergebnis zu erhalten? Wäre froh, wenn sich jemand Zeit nehmen könnte mir das kurz zu erklären!

Die Lösung zu dem Beispiel hilft mir leider kaum weiter....

Answer 1

Hallo

Grüße                                                                            

Comments

Erstmal vielen Dank!

Verstehe ich das richtig, dass ich erst die Gerade zeichne, alle Punkte eintrage, dort anlege und den jeweiligen Winkel messe?

Und woher weiß ich zB bei ACM bei welchem Punkt ich anlegen muss? A oder M?

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Sollst du die Aufgabe graphisch lösen? Dann würde ich erst den Punkt C eintragen und dann die Winkel einzeichnen.

Winkel ACM bedeutet: Der Scheitelpunkt ist C und die Schenkel sind CA und CM.

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Nein, ich war mir nur bis jetzt immer unsicher, wie genau man denn so eine Skizze zeichnet - mit so einer Angabe meine ich (Winkel ACB, ACN etc). Aber nun bin ich schlauer.

Answer 2

Hallo Queenie,

grafische Lösung im Maßstab 1 : 1000

Zeichne AC  mit  Länge b = 5750 mm = 5,75 cm

Trage in C an CA den Winkel γ = 102,3° an.

Im Folgenden sind benötigte Punkte nacheinander durch zwei Ortslinien festgelegt, deren Schnittpunkt jeweils der gesuchte Punkt ist

B liegt

   1)  freier Schenkel von γ

   2)  Kreis um C mit r = a = 7200 mm = 7,2 cm

Verbinde A mit B

 M liegt

   1)  Strecke AB

   2)  freier Schenkel von Winkel 21,8° angetragen in C an CA

N liegt

   1)  Strecke AB

   2)  freier Schenkel von Winkel 30° angetragen in C an CB

Aber wo lege ich denn optimalerweise das Geodreieck an

Rechnung: 

Im ΔABC kannst du mit dem Kosinussatz  aus a = 7200 , b = 5750 und γ = 102,3° die Strecke BC = c = 10126,27

und dann mit dem Sinussatz  α = 44° und β = 33,7°  berechnen.

In den Dreiecken ΔAMC und BCN  kann man dann jeweils den dritten Winkel und mit dem Sinussatz die Seiten y = 4379,12  und  z = 4456,15 ausrechnen.

In ΔMNC ergibt sich Winkel  w =  102,3° - 21,8° - 30°  = 50,5° 

Aus y, z und Winkel w ergibt sich dann mit dem Kosinussatz die Länge 

x = 3769,49 von Strecke MN.

Gruß Wolfgang 

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Der Winkel BCN ist in der Aufgabenstellung falsch bezeichnet, es müsste NCB heißen 

Comments

Super, vielen Dank für die genaue Erklärung.

Allerdings glaube ich, dass der Tunnel dann eine Länge von 3769, 8 m haben müsste...?? Es sei denn ich habe mich verrechnet :-)

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Du hast dich nicht verrechnet. Gut gemacht :-)

Habe wohl beim Online-Rechner eine falsche Eingabe gemacht:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/Dreiecksberechnung.htm

    (Eingabe mit a = z , b = y , γ = w !)

Dort ergibt sich für die Länge von MN   3769,49  (Rundungsproblem)

(in der Antwort korrigiert)

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Hm... Das heißt ich habe wohl irgendwo falsch gerundet? Oder mit zu wenig Dezimalstellen gerechnet?

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Es geht wohl einfach nur um die Anzahl der Dezimalstellen, die man bei Zwischenergebnissen  "mitnimmt" .

 Bei 4 richtigen Ziffern im Ergebnis wird dir kein vernünftiger Mensch einen Fehler anrechnen.

Entweder ihr legt das mal mit eurem Lehrer fest oder man nimmt

Anzahl Kommastellen = maximale Anzahl der Kommastellen bei den Angaben der Aufgabe.

Bei sin, cos und tan-Werten sollte man aber mindestens 4 Kommastellen nehmen.