gilt [{ x,y}] = [{ y,z }] wenn x,y,z vektoren sind?

Question

Sei K ein Körper. Ist die folgende Aussage wahr?

Seien x,y,z Vektoren im K- Vektorraum V und seien λ,μ,ν ∈ K mit λ,ν≠0 und λx+μy+νz=0. Dann folgt:
[{ x,y}] = [{ y,z }].

Kann mir dabei jemand helfen? Mit [{ x,y}] = [{ y,z }] ist doch die lineare Hülle gemeint oder? Und wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Ich meine, dass das wahr ist ( falls [  ... ] ) die lineare Hülle ist.

Denn wegen λ ≠ 0 gilt    x = - μ / λ  * y    - v / λ  * z , also

ist  x eine Linearkombination von y und z , also

x ∈  [{y,z}] und sowieso y ∈  [{y,z}] , also

[{x,y}] ⊆ [{y,z}] .

Die andere Richtung folgt entsprechend mit

   z = .................... 

Comments

Warum gilt y ∈  [{y,z}]?

und ist die lineare Hülle von [{ x,y}] eine linear Hülle der Menge M ={0 ∈ V: 0= λx+μy+νz} oder welche Menge ist da gemeint?

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Und warum folgt dann

[{x,y}] ⊆ [{y,z}]

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Okay ich habe verstanden warum gilt [{x,y}] ⊆ [{y,z}]. Aber warum ist  y ∈  [{y,z}]?

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Aber warum ist  y ∈  [{y,z}]?

weil y = 1*y + 0*z