Parameterform einer Ebene bestimmen

Question

wie komme ich auf die zwei markierten Zeilen im Bild? 

Answer 1

du gehst aus von

$$ 2x_1+4x_2-2x_3=0 $$

Das ist eine Gleichung mit 3 Unbekannten, daher kann man 3-1=2 Unbekannte als Parameter wählen. Gibst du dir diese beiden Werte vor, so kannst du eindeutig die dritte Variable bestimmen.

Im Beispiel wurden

$$ x_1=k\\x_2=l\\$$

als Parameter gewählt. Das ist eine Festlegung.

Dann nach x_3 auflösen:

$$ x_3=3+x_1+2x_2=3+k+2l$$

Nun als Vektor schreiben:

$$ \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} k\\l\\3+k+2l \end{pmatrix}$$

Answer 2

Vielleicht sollte man, ergänzend zur Antwort jc, noch herausheben, dass man nicht von DER Parameterform sprechen kann, sondern es unendlich viele Parameterformen ein und derselben Ebene gibt.

E: x + 2 y - z +3 = 0

Ich suche Vektoren o,u,v, n=(1,2,-1) Normalenvektor von E mit n u = 0, n v = 0 u,v ⊥ n und - n o = 3:

(x,y,z)^T = o + r v + s u = (-3,0,0)^T + r (2,-1,0)^T + s(0,1,2)^T

auch eine Parameterform der Ebene E...