Beweisen oder widerlegen Sie: Ist c_{n} mit c_{n} = a_{n}·b_{n} eine Nullfolge, dann ist a_{n} oder b_{n} eine Nullfolge

Question

Ich bräuchte einen Ansatz für folgende Fragestellung:

Seien \( \left( a _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) und \( \left( b _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) Folgen reeller Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie: Ist \( \left( c _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) mit \( c _ { n } = a _ { n } b _ { n } \) eine Nullfolge, dann ist \( \left( a _ { n } \right) _ { n \in N } \) oder \( \left( b _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } } \) eine Nullfolge.

Answer 1

Hi,

ich würde einen Widerspruchsbeweis machen. Seien a=(a_n)_n∈ℕ und  b=(b_n)_n∈ℕ die betrachteten Folgen.

Wir nehmen also an, dass weder a noch b Nullfolgen sind.

Wie könntest du nun auf einen Widerspruch dazu kommen, dass die Folge a · b eine Nullfolge ist? Tipp: Zeige, dass die Folge betragsmäßig keine Nullfolge ist. Hierbei kannst du nämlich schöne Abschätzungen machen.

Comments

Nach dem Vortrag des Professors :

"Herr Kollege, zu Ihrem angeblichen Satz gibt es ein einfaches Gegenbeispiel."

"Macht nichts, ich habe noch zwei andere Beweise."

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Ok danke, nur eine Sache was genau meinst du mit "Hierbei kannst du nämlich schöne Abschätzungen machen"?

Grüße

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Verstehe nicht was du meinst. Er soll aus A folgt B beweisen. Ich sage zu ihm, dass er annehmen soll, dass B nicht gilt und er damit auf einen Widerspruch zu A kommt. Im Prinzip ist das hier nichts anderes als die Kontraposition, da ich ja keine Folgerung aus der Aussage A nutze.

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Bitte :)
Es gilt:

$$|a_n \cdot b_n | \ge \inf\{|a_n| \ | \ n \in \mathbb{N}\} \cdot \inf\{|b_n| \ | \ n \in \mathbb{N}\}$$

Das war's eigentlich schon fast. Damit kannst du direkt folgern, dass deine Folge a·b keine Nullfolge ist. Die Folge a·b ist übrigens genau dann keine Nullfolge, wenn |a·b| keine Nullfolge ist.

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Ich kann leider nicht ganz nachvollziehen, was du veruchst mir zu vermitteln.

Auch warum es aus dem Bertrag folgern sollte?!

Soweit ich es verstehe, ist das a*b keine Nullfolge sein kann, wenn a oder b keine Nullfolge ist/sind.

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Was wir zeigen wollen ist:

Sind a,b keine Nullfolgen, so ist auch a·b keine Nullfolge. Das ist die Kontraposition zu dem direkten Beweis.

Den Betrag verwende ich, weil wir ansonsten noch mal auf die Vorzeichen achten müssten, das fällt somit weg.

Ohne den Betrag würden die folgenden Ungleichungen nicht funktionieren.

Es gilt:

$$\lim_{n \to \infty} |a_n \cdot b_n | \\ = \lim_{n \to \infty} |a_n| \cdot |b_n | \\ \ge \lim_{n \to \infty} inf\{ |a_m| \ | \ m \in \mathbb{N}\} \cdot inf\{ |b_m| \ | \ m \in \mathbb{N}\} \\ = inf\{ |a_m| \ | \ m \in \mathbb{N}\} \cdot inf\{ |b_m| \ | \ m \in \mathbb{N}\} \\ >0 \cdot 0  \\= 0 $$

Das ist der ganze Beweis.

Kannst du ihn nachvollziehen?

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Wenn eine Folge keine Nullfolge ist, kann der Liminf trotzdem null sein.

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Ok, mein Fehler, der Wert kann ja auch sogar ruhig mal angenommen werden.

Ich denke noch mal drüber nach. Danke für den Hinweis!

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Hatte ein Brett vorm Kopf, sorry.

Hier ein Gegenbeispiel.

Wähle$$a_n =\begin{cases} 1 & \, \text{falls n gerade} \\ 0 & sonst \end{cases}$$ und$$b_n =\begin{cases} 1 & \, \text{falls n ungerade} \\ 0 & sonst \end{cases}$$  
Dies sind keine Nullfolgen, aber a_n ·b_n ist eine Nullfolge.

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danke!  aber  sowohl durch überlegen und rumprobieren sind mir keine Folgen aufgefallen die das erfüllen.

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Bitte :)
Das sind die Folgen, die sind so definiert. Damit bist du fertig.

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das reicht also wirklich um das zu zeigen? Muss man nicht irgendwie noch zeigen das es solche Folgen auch gibt und dass das Produkt gegen null konvegiert. So ist doch schwer nachzuvollziehen.

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Die Folgen gibt es. Du definierst dir deine Folgen so wie du es möchtest.

Hier sind die beiden Folgen mal angezeichnet (a_n in rot und b_n in blau):

~draw~ kreis(1|0 0.1){FF0000};kreis(2|1 0.1){FF0000};kreis(3|0 0.1){FF0000};kreis(4|1 0.1){FF0000};kreis(5|0 0.1){FF0000};kreis(6|1 0.1){FF0000};;kreis(1|1 0.1){00008B};kreis(2|0 0.1){00008B};kreis(3|1 0.1){00008B};kreis(4|0 0.1){00008B};kreis(5|1 0.1){00008B};kreis(6|0 0.1){00008B};zoom(10) ~draw~

Nun schau mal, was a₁ · b₁ ergibt bzw. a_n · b_n ganz allgemein.

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würde es nicht einfach immer null ergeben ? es soll gegen null konvegieren aber nie null annehmen. Oder verstehe ich das falsch?

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Genau, es würde immer Null ergeben.

Das verstehst du falsch. Die Folge darf sehr wohl die Null auch annehmen. Das siehst du an der Definition.

$$c_n \underset{n \to \infty}{\to} 0 \Leftrightarrow \forall \epsilon >0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \ge N: \ |c_n-0|< \epsilon $$

D.h. die Folge c_n konvergiert genau dann gegen 0, wenn du für jedes noch so kleine ∈ ein N aus den natürlichen Zahlen findest, sodass alle Folgenglied ab diesem N betragsmäßig kleiner als ∈ sind.

Jetzt setzen wir mal für c_n die 0 ein: |c_n-0|=|0-0|=0

Und 0 ist immer echt kleiner als ∈. D.h. es liegt eine Nullfolge vor!:)

Answer 2

Gegenbeispiel:

a_n = 1- (-1)ⁿ         1 ,0,1,0,1,0,..............

b_n = 1- (-1)ⁿ⁺¹       0,1,0,1,0,...........

Produkt ist konstant 0, also Nullfolge.

Die anderen beiden konvergieren gar nicht.

Comments

danke für deine Antwort. Kannst du mir noch kurz erklären was du mit die anderen beiden konvergieren gar nicht meinst ?

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"konvergiert gar nicht" heißt: Die anderen beiden Folgen haben

keinen Grenzwert, sind also erst recht keine Nullfolgen.