Logarithmus Gleichungssystem lösen

Question

Hallo liebe Community, ich bräuchte Hilfe bei den obigen Aufgaben. Bei a) hat es ja irgendetwas mit den Potenzgesetzen zu tun, wenn ich mich nicht irre.. und bei b) komme ich auf -3-x^3-12x^2+12x= 27 bin mir aber ziemlich sicher, dass es falsch ist. Wäre lieb, wenn ihr mir helfen könntet!

Lg

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4*log_(9)(x+2) = log_(3)*(x+2)^2

--> log_(3)(-3x*(x+2)^2)= 1

-3x(x+2)^2= 3^1

Löse diese Gleichung.

Answer 1

log₃(-3x) + 4*log₉(x+2)=1

Def. bereich jedenfalls x<0 und x+2>0 also x > -2 .

Dann Gesetze anwenden

log₃(3) + log₃(-x) + 4*log₉(x+2) =1

1 + log₃(-x) + 2*log₃(x+2) =1

    log₃(-x) + 2*log₃(x+2) =0

  log₃(-x) + log₃((x+2)²) =0

                 log₃(-x_*(x+2)²)=0

                   -x_*(x+2)² =1

Comments

Dass das nicht stimmt, ist doch offensichtlich! Wo der Fehler ist, weiß ich aber auch nicht – vielleicht in der drittletzten Zeile?

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außerdem fehlt bei der letzten Zeile doch noch eine 3 vor der Klammer , also:

-3x(x+2)²= 3 oder nicht?

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Na ja, das ist wohl so.

Ich würde aber eher auf der rechten Seite eine 1 statt einer 3 erwarten...

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Da ist was dran, dann gibt es

   -x_*(x+2)² = 1

und das hat die Lösungen

-1   und ( -√5 - 3 ) / 2  und ( √5 - 3 ) / 2

und ( -√5 - 3 ) / 2 liegt nicht im Definitionsbereich.

Also bleiben  -1   und  ( √5 - 3 ) / 2.

Machen wir vorsichtshalber die Proben:

log₃(-3*(-1)) + 4*log₉(-1+2)

=1  + 4 * 0 = 1   Passt !

log₃(-3*( √5 - 3 ) / 2) + 4*log₉(( √5 - 3 ) / 2   +2)

= log₃( ( -3√5 +9 ) / 2)+4*log₉(( √5 +1 ) / 2 )

= log₃ ( -3√5 +9 ) -  log₃ ( 2)  +4* log₉( √5 +1 )     - 4* log₉ ( 2 )

= log₃ ( -3√5 +9 ) -  log₃ ( 2)  +2* log₃( √5 +1 )     - 2* log₃ ( 2 )

= log₃ (( -3√5 +9 )*( √5 +1 )²)   -  log₃ ( 2)     - 2* log₃ ( 2 )

= log₃ (24)   -  3*log₃ ( 2)

= log₃ (3*8)   -  log₃ ( 8)   = 1   Passt auch !

Answer 2

Die Aussage in a) ist – nach Division durch \(\log_b(u)\) – die Basiswechselformel. Ohne Rückgriff auf diese folgt sie sofort mit der Regel zum Logarithmieren von Potenzen:

$$\log_a(b) \cdot \log_b(u) = \log_a\left(b^{\log_b(u)}\right) = \log_a(u).$$

Answer 3

Zu (a) siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus

Basisumrechnung