Ich mache mal eine vollständige Kurvendiskussion
Funktion & Ableitungen
f(x) = e^{1/4·x} - e^{1/2·x} - 2
f'(x) = 1/4·e^{1/4·x} - 1/2·e^{1/2·x}
f''(x) = 1/16·e^{1/4·x} - 1/4·e^{1/2·x}
Symmetrie
Keine untersuchte Symmetrie
Verhalten im Unendlichen
lim (x --> - ∞) = e^{1/4·x} - e^{1/2·x} - 2 = - 2
lim (x --> ∞) = e^{1/4·x} - e^{1/2·x} - 2 = - ∞
Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = - 2
Nullstellen f(x) = 0
e^{1/4·x} - e^{1/2·x} - 2 = 0
z - z^2 - 2 = 0 --> Keine Lösung
Extrempunkte f'(x) = 0
1/4·e^{1/4·x} - 1/2·e^{1/2·x} = 0
1/4·z - 1/2·z^2 = 0 --> z = 1/2 ∨ z = 0
e^{1/4·x} = 1/2 --> x = - 4·LN(2) = - 2.773
f(- 4·LN(2)) = - 7/4 = - 1.75 --> HP(- 2.773 | - 1.75)
Wendepunkte f''(x) = 0
1/16·e^{1/4·x} - 1/4·e^{1/2·x} = 0
1/16·z - 1/4·z^2 = 0 --> z = 1/4 ∨ z = 0
e^{1/4·x} = 1/4 --> x = - 8·LN(2) = - 5.545
f(- 8·LN(2)) = - 29/16 = -1.813 --> WP(- 5.545 | -1.813)
Weil es mehrere Möglichkeiten gibt die Art des Extremums zu bestimmen lasse ich dir die Wahl.
