Vektorräume Aussagen bewerten

Question

Hallöle:)

Die Aufgabe , die ich leider nicht lösen kann lautet:

Sei V ein K -Vektorraum. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Geben

Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.

(a) Jede Teilmenge eines Erzeugendensystems von V ist ein Erzeugendensystem von V .

(b) Die Schnittmenge von zwei Erzeugendensystemen von V ist ein Erzeugendensystem von V .

(c) Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge von Vektoren in V ist linear unabhängig , insbeson- dere ist daher auch die leere Menge stets eine linear unabhängig e Teilmenge von V .

(d) Die Vereinigung eines Erzeugendensystems von V mit einer beliebigen Teilmenge von V ist wieder ein Erzeugendensystem von V .

(e) Die Vereinigung zweier linear unabhängiger Mengen von Vektoren in V ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren in V .

Ich hoffe ihr könnt mir helfen und danke im Voraus :))

Answer 1

(a) Jede Teilmenge eines Erzeugendensystems von V ist ein Erzeugendensystem von V .

falsch:  Nimm die leere Menge , die Teilmenge des Erz.systems  {(0,1),(1,0)} von R² ist.

(b) Die Schnittmenge von zwei Erzeugendensystemen von V ist ein Erzeugendensystem von V .

falsch :        {(0,1),(1,0)} und {(0,1),(2,0)} sind Erz.systeme von R2 .  Schnittmenge nicht.

(c) Jede Teilmenge einer linear unabhängigen Menge von Vektoren in V ist linear unabhängig ,

insbesondere ist daher auch die leere Menge stets eine linear unabhängig e Teilmenge von V .

wahr:  Zu zeigen wäre ja: Wenn eine Linearkombination der Elemente der Teilmenge

gleich dem Nullvektor ist, dann sind alle Koeffizienten 0.

Bei der leeren Teilmenge ist das wahr, weil dann: "

Wenn eine Linearkombination der Elemente der Teilmengegleich dem Nullvektor ist " immer falsch ist.

ansonsten kann man die Linearkombination durch 0*v_n+1 +0*v_n+2+... zu einer 

Linearkombination mit allen Vektoren der Obermenge ergänzen.

(d) Die Vereinigung eines Erzeugendensystems von V mit einer beliebigen Teilmenge von V ist wieder ein Erzeugendensystem von V .

wahr:  für die hinzugekommenen kannst du auch sowas machen wie 0*vn+1 +0*vn+2+...

(e) Die Vereinigung zweier linear unabhängiger Mengen von Vektoren in V ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren in V . falsch:   {(0,1),(1,0)} und {(0,1),(2,0)} sind lin. unabh.   Die Vereinigung nicht.