Kurvendiskussion; Extremstelle. Steht alles unter der Wurzel

Question

f(x)= √x²+3x+2 (steht alles in der Wurzel)

Extremstelle.

f'(x)=0

x= -3/2

f''(-3/2) = { } 

So habe das mit Geogebra gerechnet & mir kommt kein Ergebnis raus. Das Ergebnis sollte aber -2 und -1 sein (globale Minimumstelle) 

Weiß jemand wieso?

Answer 1

Definitionsbereich

x^2 + 3·x + 2 ≥ 0 --> x ≤ -2 ∨ x ≥ -1

D = ]-∞ ; -2] ∪ [-1 ; ∞[

Wo hat x^2 + 3·x + 2 im Definitionsbereich das globale Minimum?

Sicher an den Nullstellen. Das ist dann auch das globale Minimum der Wurzelfunktion, da die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist.

Comments

Das weiß ich auch. Hätte die Lösung auch von der Funktion ablesen können, nur will unsere Lehrerin das rechnerisch gelöst haben. 

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Du musst ja auch die Nullstellen von x^2 + 3·x + 2 rechnerisch lösen. Aber dazu brauchst du mich nicht. Das ist eine einfache quadratische Gleichung, die du einfach mit pq-Formel lösen kannst.

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Ja die Nullstellen konnte das Programm leicht lösen. -1 & -2

Ich glaub ich belass das mal & sag ihr einfach das es nicht geht.

Trzdm danke :)

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Beachte das du mit der ersten Ableitung nur Extremstellen bekommst, an denen die Steigung Null wird. Randextrema, wie in diesem Fall kannst du nicht mit der ersten Ableitung berechnen.

Answer 2

Hallo Peter,

-1 und -2 sind die Nullstellen von  x²+3x+2 = (x+1) * (x+2)  und damit von f.

Wegen f(x) ≥ 0  sind das globale Minimumstellen von f.

f(x)= √(x²+3x+2)        D = ] - ∞ ; -2 ] ∪ [ -1 ; ∞ [ wegen   x²+3x+2 ≥ 0  

f '(x) = (2·x + 3) / (2·√(x² + 3·x + 2))  hat keine Nullstelle  ( -3/2 ∉ D )

f '(x) > 0 in  ] -1 ; ∞ [   →  f streng monoton steigend in  ] - 1 ; ∞ ]

f '(x) <  0 in ] - ∞ ; - 2 ] →  f streng monoton fallend in  ] - ∞ ; -2 ]

→ Es gibt sonst keine Extrema.

Gruß Wolfgang

Comments

Wie haben Sie den Definitionsbereich ausgerechnet?

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Also das ≥ Symbol

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Der Term unter der Wurzel darf nicht negativ sein. Der Parabelterm  x²+3x+2 ist zwischen seinen Nullstellen ( x=-2 und x=1) negativ (nach oben geöffnete Parabel).

→ D =  ] - ∞ ; -2 ] ∪ [ -1 ; ∞ [   , dort ist f(x) ≥ 0  also nicht negativ