Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit. f(x) = x/(1+x)

Question

 Dies ist die Aufgabe. Kann mir die jemand vorrechnen oder so erklären, dass ich es auch lösen kann?

Answer 1

Hi,

zur a):
Du musst zeigen, dass

$$\forall x \in (-1,1) \ \forall \epsilon >0 \ \exists \delta >0 \ \forall y \in (-1,1): \ |x-y|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-f(y)|=\frac{|x-y|}{|(x+1) \cdot (y+1)|} < \epsilon $$

Wähle nun dein δ geschickt. Bedenke, dass es von x und ε abhängen darf.

Answer 2

zu (b)

$$Zu\quad zeigen\quad ist:\quad \exists \quad \epsilon \quad >\quad 0\quad \forall \quad \delta \quad >\quad 0\quad \exists \quad x,y\quad \in \quad (-1\quad ,\quad 1)\quad :\quad \left( \left| x\quad -\quad y \right| \quad <\quad \delta \quad \wedge \quad \left| f(x)\quad -\quad f(y) \right| \quad \ge \quad \epsilon  \right) $$

$$ \epsilon \quad :=\quad 1.\quad \delta \quad >\quad 0\quad beliebig,\quad wie\quad vorgegeben.\quad Seien\quad { x }\quad =\quad \frac { 1 }{ n } \quad -\quad 1\quad und\quad { y }\quad =\quad \frac { 1 }{ 2n } \quad -\quad 1\quad mit\quad n\quad \in \quad N,\quad sodass\quad x,y\quad \in \quad (-1\quad ,\quad 1)\\ erfüllt\quad ist.\\ Nach\quad dem\quad archimedischen\quad Axiom\quad gilt:\quad \forall \quad \alpha \quad >\quad 0\quad \exists \quad m\quad \in \quad N\quad :\quad \frac { 1 }{ m } \quad <\quad \alpha .\quad \\ Für\\ \\ \left| x\quad -\quad y \right| \quad =\quad \left| \left( \frac { 1 }{ n } \quad -\quad 1 \right) \quad -\quad \left( \frac { 1 }{ 2n } \quad -\quad 1 \right)  \right| \quad =\quad \frac { 1 }{ 2n } \quad <\quad \delta \quad \quad \\ \\ gilt\quad also \\ \forall \quad \delta \quad >\quad 0\quad \exists \quad x,y\quad \in \quad (-1\quad ,\quad 1)\quad :\quad \left| x\quad -\quad y \right| \quad <\quad \delta$$
$$Und\\ \\ \left| f\left( \frac { 1 }{ n } \quad -\quad 1 \right) \quad -\quad f\left( \frac { 1 }{ 2n } \quad -\quad 1 \right)  \right| \quad =\quad \left| \left( \frac { \frac { 1 }{ n } \quad -\quad 1 }{ \frac { 1 }{ n } \quad -\quad 1\quad +\quad 1 }  \right) \quad -\quad \left( \frac { \frac { 1 }{ 2n } \quad -\quad 1 }{ \frac { 1 }{ 2n } \quad -\quad 1\quad +\quad 1 }  \right)  \right| \\ \\ =\quad \left| \left( 1\quad -\quad n \right) \quad -\quad \left( 1\quad -\quad 2n \right)  \right| \quad =\quad n\quad \ge \quad \epsilon $$