Epsilon-Delta-Kriterium , gleichmäßige Stetigkeit

Question

Ich versuche gerade mir das epsilon delta kriterium einzuprägen... und habe eine frage das ist so wie ich es aus dem kopf aufschreiben würde. sind da fehler drin? und sind in den aussagen zu der gleichmäßigen stetigkeit fehler?

$$f(x)\quad =\quad x²\\ |x\quad -\quad { x }_{ 0 }|\quad <\quad \delta \\ \\ |f(x)\quad -\quad f({ x }_{ 0 })|\quad <\quad \epsilon \\ \\ \\ |x²\quad -\quad { x }_{ 0 }²|\quad =\quad |x\quad -\quad x0|\quad |x\quad +\quad x0|\quad <\quad \delta \quad |x\quad +\quad { x }_{ 0 }|\\ \\ { x }_{ 0 }\quad -\quad 1\quad \le \quad x\quad \le \quad { x }_{ 0 }\quad +\quad 1\\ \\ |x²\quad -\quad { x }_{ 0 }²|\quad \le \quad |x\quad -\quad x0|\quad |x\quad +\quad x0|\quad <\quad \delta \quad |x\quad +\quad x0|\quad \le \quad \delta |{ x }_{ 0 }\quad +\quad 1\quad +\quad { x }_{ 0 }|\quad =\quad \delta |{ 2x }_{ 0 }\quad +\quad 1|\quad \le \quad \epsilon \\ \\ \\ \delta \quad <\quad \frac { \epsilon  }{ |{ 2x }_{ 0 }\quad +\quad 1| } \\ \\ \delta \quad min\quad =\quad \left\{ { x }_{ 0 }\quad +\quad 1\quad ,\quad \frac { \epsilon  }{ |{ 2x }_{ 0 }\quad +\quad 1| }  \right\} \\ \\ f(x)=x²\quad ist\quad in\quad R\quad nicht\quad gleichmäßig\quad stetig.\\ \\ ----------------------------------------\\ \\ f(x)\quad =\quad \sqrt { x } \\ |x\quad -\quad { x }_{ 0 }|\quad <\quad \delta \\ \\ |f(x)\quad -\quad f({ x }_{ 0 })|\quad <\quad \epsilon \\ \\ \\ |\sqrt { x } \quad -\quad \sqrt { { x }_{ 0 } } |\quad \le \quad \sqrt { x\quad -\quad { x }_{ 0 } } \quad <\quad \sqrt { \delta  } \quad \le \quad \epsilon \\ \\ \delta \quad <\quad \epsilon ²\\ \\ f(x)=\sqrt { x } \quad ,\quad ist\quad auf\quad { R }_{ \ge 0 }\quad gleichmäßig\quad stetig.\\ \\ ----------------------------------------\\ \\ f(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ x } \\ |x\quad -\quad { x }_{ 0 }|\quad <\quad \delta \\ \\ |f(x)\quad -\quad f({ x }_{ 0 })|\quad <\quad \epsilon \\ \\ \left| \frac { 1 }{ x } \quad -\quad \frac { 1 }{ { x }_{ 0 } }  \right| \quad =\quad \left| \frac { { x }_{ 0 }\quad -\quad x }{ x{ x }_{ 0 } }  \right| \quad <\quad \left| \frac { \delta  }{ x{ x }_{ 0 } }  \right| \quad \\ \\ \\ \frac { { x }_{ 0 } }{ 2 } \quad \le \quad x\quad \le \quad \frac { { 3x }_{ 0 } }{ 2 } \\ \\ \\ \left| \frac { 1 }{ x } \quad -\quad \frac { 1 }{ { x }_{ 0 } }  \right| \quad =\quad \left| \frac { { x }_{ 0 }\quad -\quad x }{ x{ x }_{ 0 } }  \right| \quad <\quad \left| \frac { \delta  }{ x{ x }_{ 0 } }  \right| \quad \le \quad \frac { 2\delta  }{ { x }_{ 0 }² } \quad \le \quad \epsilon \quad \\ \\ \delta \quad <\quad \frac { \epsilon { x }_{ 0 } }{ 2 } \\ \\ \delta \quad min\quad =\quad \left\{ \frac { { x }_{ 0 } }{ 2 } ,\quad \frac { \epsilon { x }_{ 0 } }{ 2 }  \right\} \\ \\ f(x)=\frac { 1 }{ x } \quad ist\quad in\quad R\quad nicht\quad gleichmäßig\quad stetig.$$

Answer 1

Die Aussagen sind richtig, aber ich würde den Gang der Argumentation

noch mit ein paar Worten verdeutlichen. Etwa  bei der √ so :

Sei eps > 0

Wähle Delta = eps² dann gilt| x-xo | < Delta

==>    | x-xo |  < eps²   

==> √   | x-xo |  < eps  und weil bekannt ist   √   | x-xo |  ≥ | √x  -   √xo |

gilt damit auch   | √x  -   √xo |    < eps    

also ist √ - Funktion gleichmäßig stetig auf [0 ; ∞ [ .

und bei den anderen beiden deutlich machen, warum es

nicht zu jedem vorgegebenen eps so ein Delta geben kann.

Comments

danke! würde das ausreichen um nicht gleichmäßig stetig zu begründen?
$$f(x)\quad =\quad \frac { 1 }{ x } \\ Je\quad größer\quad { x }_{ 0 }\quad bei\quad festem\quad Epsilon\quad umso\quad größer\quad wird\quad Delta\quad \quad \quad \leftrightarrow \quad \delta \quad <\quad \frac { \epsilon { x }_{ 0 } }{ 2 } \\ \\ f(x)\quad =\quad x²\\ Je\quad größer\quad { x }_{ 0 }\quad bei\quad festem\quad Epsilon\quad umso\quad kleiner\quad wird\quad Delta\quad \quad \leftrightarrow \quad \quad \delta \quad <\quad \frac { \epsilon  }{ |{ 2x }_{ 0 }\quad +\quad 1| } \\ $$

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Der Pfiff ist:  Es gibt kein von xo unabhängiges Delta.,weil z.B. xo kein positives Minimum aus IR+ hat.