Basis beschreiben für den Vektorraum

Question

Gegeben ist ein linearer Unterraum U=((x1,x2,x3,x4,x5): x1-x3=x3+x4-x5=x1+x4-x5=0) R^5 und die natürliche Abbildung.

$$ \pi :{ R }^{ 5 }\xrightarrow [  ]{  } { R }^{ 5 }/U,\quad v\mapsto \left[ v \right] =v+U $$

1. Man beschreibe eine Basis für den Vektorraum R^5/U

2. Wie kann ((0,1,-1,0,0)) als Linearkombination der Vektoren von 1. geschrieben werden?

Wie muss ich da vorgehen?

Answer 1

Eine Basis für U ist   { (1;0;1;0;1) , (-1 ; 0 ; -1 ; 1 ; 0 ) , ( 0 ; 1 ; 0; 0; 0) }

Die kann zu einer Basis von ℝ⁵ ergänzt werden durch  

  { (1;0;0;0;0;) und  ( 0 ; 0 ; 1; 0;0) } .

also besteht eine Basis von  ℝ⁵ / U z.B. aus den Klassen

[a] = (0;1;0;0;0;) + U   und  [b] = ( 0 ; 0 ; 0; 1; 0) + U.

b) Die Klasse (0,1,-1,0,0) + U ist gleich der Klasse

(0,1,0,0,0) +( 0 ; 0 ; -1 ; 0 ; 0 ) + U , da (0,1,0,0,0) ∈ U 

also ist die Darstellung mit den obigen Basisvektoren

1* [a]   + 0* [b].