Da \( f \) in \( 0 \) stetig ist, gibt es zu jedem \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) mit \( |f(x)-f(0)| = |f(x)+1| < \epsilon \) für alle \( x \in (-\delta, \delta) \)
Zu zeigen ist, zu jedem \( \epsilon > 0 \) gibt es ein \( \delta > 0 \) mit \( |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \) für alle \( x \in (x_0-\delta, x_0+\delta) \)
Wähle \( \delta > 0 \) so, dass gilt \( |f(x)+1|< \frac{\epsilon}{|f(x_0)|} \) für alle \( x \in (-\delta,\delta) \), dann folgt
$$ |f(x) - f(x_0)| = |f(x_0 + z) - f(x_0)| $$
mit \( z \in (-\delta,\delta) \), und daraus folgt
$$ |f(x)-f(x_0| \le |-f(x_0) f(z) - f(x_0) | = |f(x_0)| |f(z)+1| < |f(x_0) \frac{\epsilon}{|f(x_0)|} = \epsilon $$