Zeigen Sie die folgende Äquivalenz? f ist stetig auf R <==> f ist stetig in 0.

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion mit \( f(0)=-1 \) und \( f(x+y) \leq-f(x) f(y) \) für alle \( x, y \in \mathbb{R} \).

Zeigen Sie die folgende Äquivalenz:

\( f \) ist stetig auf \( \mathbb{R} \Leftrightarrow f \) ist stetig in \( 0 . \)

Comments

Hast Du Dir für die Richtung ⇒ schon was ausgedacht?

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Mal eine ganz doofe Frage, reicht für die "⇒" - Richtung nicht aus zu sagen, dass 0 ∈ ℝ und somit wenn f auf ℝ stetig ist, f auch stetig in 0 ist ?

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Ja, so einfach ist das ;). Die andere Richtung ist allerdings interessanter. 

Answer 1

Da \( f \) in \( 0 \) stetig ist, gibt es zu jedem \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) mit \( |f(x)-f(0)| = |f(x)+1| < \epsilon \) für alle \( x \in (-\delta, \delta) \)

Zu zeigen ist, zu jedem \( \epsilon > 0 \) gibt es ein \( \delta > 0 \) mit \( |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \) für alle \( x \in (x_0-\delta, x_0+\delta) \)

Wähle \( \delta > 0 \) so, dass gilt \( |f(x)+1|< \frac{\epsilon}{|f(x_0)|} \) für alle \( x \in (-\delta,\delta) \), dann folgt

$$ |f(x) - f(x_0)| = |f(x_0 + z) - f(x_0)| $$

mit \( z \in (-\delta,\delta) \), und daraus folgt

$$ |f(x)-f(x_0| \le |-f(x_0) f(z) - f(x_0) | = |f(x_0)| |f(z)+1| < |f(x_0) \frac{\epsilon}{|f(x_0)|} = \epsilon $$

Comments

Die Sache hat aber einen Haken: Es folgt nur $$f(x+h)-f(x)\le-f(x)[f(h)-f(0)]$$ und da kann man jetzt nicht einfach so Betragsstriche dran machen. Es koennte ja z.B. $$-10\le5$$ sein.

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Und wie beheben wir das jetzt?