Es seien X, Y ⊆ R sowie f:X→Y und g:Y→X zwei surjektive Funktionen. Zeigen Sie folgende Äquivalenz. f◦g= id⇐⇒g◦f= id

Question

Aufgabe:

Es seien X, Y ⊆ R sowie f:X→Y und g:Y→X zwei surjektive Funktionen.

Zeigen Sie folgende Äquivalenz. f◦g= id⇐⇒g◦f= id

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man das? Mit bijektiven Funktionen verstehe ich das, aber bei surjektiven Funktionen habe ich keine Ahnung.

Comments

=> Sei f o g = id, zz (g o f)(x) = id(x) = x für alle x in X.

Sei x in X, dann existiert da g surjektiv ist ein Urbild von x unter g, also ein y in Y mit g(y) = x, nach Voraussetzung ist y = (f o g)(y) = f(g(y)) = f(x)

D.h. (g o f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x

Andere Richtung analog.

Answer 1

Die Aufgabe wurde im Kommentar gelöst.