Question

Es sei M ⊆ R nichtleer. Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen.
(i) sup M = ∞.
(ii) Es gibt eine Folge (xn) in M (d.h. xn ∈ M für alle n ∈ N) mit limn→∞ xn = ∞.

Könnte mir jemand hier behilflich sein?

Ich weiß zwar das die Aufgabe hier ist, aus dem einen das andere zu beweisen und umgekehrt. Aber wie geht das? Wie fang ich an?

Answer 1

sup M = ∞.

==>  Für jedes n ∈ ℕ gilt: n ist KEINE obere Schranke für M
==>  Für jedes n ∈ ℕ gibt es ein x_n ∈ M mit x_n > n.  Wähle für
        für jedes n ∈ ℕ ein solches x_n .

==>  Die Folge x_n hat den Grenzwert ∞.

Umgekehrt:

Es gibt eine Folge (x_n) in M mit lim n→∞ xn = ∞.

Sei nun c ∈ℝ.  Dann gibt es ein n∈ℕ mit x_n > c

und wegen x_n ∈ M gibt es also ein Element aus M,

das größer ist als c. Also c keine obere Schranke für M.

Damit ist M eine nicht leere Menge, die keine obere

Schranke in ℝ hat, also sup M = ∞.