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Ein Flugzeug fliegt von Leipzig nach Wien (660 km) und kommt in Wien 6 min früher an, da es Rückenwind von 60 km/h hatte. Wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges?
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Beste Antwort

Sei vF  die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges.

Die Flugzeit ohne Rückenwind beträgt:

tohne = 660 / vF

Die Flugzeit mit Rückenwind hingegen beträgt:

tmit = 660 / ( vF + 60 )

Außerdem gilt: 6 min = 0,1 Stunden

 

Laut Aufgabenstellung soll gelten:

tohne - 0,1 = tmit

also:

( 660 / vF ) - 0,1 = 660 / ( vF + 60 )  

Auflösung nach vF ergibt:

vF = 600 km/h

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Sieht gut aus und Ergebnis ist auch völlig plausibel, aber wie du auf die Gleichung gekommen bist fällt mir trotzdem sehr schwer nachzuvollziehen.

Die Lösung beruht auf der Formel s = v * t , welche die Strecke angibt, die ein Körper bei gleichbleibender Geschwindigkeit v in der Zeit t zurücklegt. Aufgelöst nach t ergibt sich:

t = s / v

Diese Formel gibt nun die Zeit an, die ein Körper bei gleichbleibender Geschwindigkeit v benötigt, um die Strecke s zurückzulegen.

Außerdem wird angenommen, dass sich die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges vF und die Windgeschwindigkeit (60 km/h) zur Gesamtgeschwindigkeit des Flugzeuges addieren. Dies entspricht auch der Realität.

Aufgrund obiger Formel ergeben sich daraus die beiden Flugzeiten

ohne Rückenwind (also nur mit Eigengeschwindigkeit):

tohne = 660 / vF  

und mit Rückenwind (also mit der Summe aus Eigengeschwindigkeit und Windgeschwindigkeit)

tmit = 660 / ( vF + 60 )

Diese beiden Zeiten unterscheiden sich laut Aufgabenstellung um 0,1 h (wobei die Flugzeit mit Rückenwind natürlich die kürzere ist), also:

tohne - 0,1 = tmit

Setzt man hier die genannten Terme für tohne bzw.  tmit ein, erhält man:

( 660 / vF ) - 0,1 = 660 / ( vF + 60 )  

und daraus ergibt sich durch Auflösung nach vF die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges.

Schön erklärt
... ganz hervorragend zum gedanklichen Nachvollzug!
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Hi

 

s = 660 km; tw = 6 min = 0,1 h; vw = 60 km/h;

vf: Geschwindigkeit des Flugzeugs

 

Aufstellen der Gleichung:

s / (v f  +vw) = s/v f -tw;

In Worten: Die Geschwindigkeit des Flugzeugs und des Winds addieren sich: v f  +vw. 
Das Flugzeug braucht für die Strecke normalerweise t1 = s/vf. Mit Wind braucht das Flugzeug aber nur noch t  2  =s/(v f +vw). t2  ist also t1-tw, wobei tw die zeit ist, die das Flugzeug durch den Wind spart. 

t2 = t1 -tw; |einsetzen

s / (vf +vw) = s/vf -tw;

 

Jetzt nur noch ausrechnen:

s*vf =  (s- tw *vf)  *(vf +vw);  

s*vf = -t w*v  f  ^2   -t  w  *v w *vf   +s*vf +s*vw;

-tw *vf^2  -tw*vf *vw+s*vf +s*v w  -s*vf   = 0;

-tw*vf^2  -tw  *v f *vw   +s*vw = 0;

vf^2  +vf *v  w  -s* vw/ tw   = 0;

vf^2 -vf*60km/h -660*60/0,1 (km/h)^2 = 0;

Lösen der quadratischen Gleichung (hier nicht weiter aufgeführt, nur auf Nachfrage) liefert:

vf1 = 600 km/h;

vf2 ≈= -660 km/h;

 

Das Flugzeug fliegt also mit 600 km/h. (Die negative Lösung ist nicht sinnvoll.)

 

lg JR

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