Textaufgabe: Wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges?

Question

Ein Flugzeug fliegt von Leipzig nach Wien (660 km) und kommt in Wien 6 min früher an, da es Rückenwind von 60 km/h hatte. Wie groß ist die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges?

Answer 1

Sei v_F  die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges.

Die Flugzeit ohne Rückenwind beträgt:

t_ohne = 660 / v_F

Die Flugzeit mit Rückenwind hingegen beträgt:

t_mit = 660 / ( v_F + 60 )

Außerdem gilt: 6 min = 0,1 Stunden

 

Laut Aufgabenstellung soll gelten:

t_ohne - 0,1 = t_mit

also:

( 660 / v_F ) - 0,1 = 660 / ( v_F + 60 )  

Auflösung nach v_F ergibt:

v_F = 600 km/h

Comments

Sieht gut aus und Ergebnis ist auch völlig plausibel, aber wie du auf die Gleichung gekommen bist fällt mir trotzdem sehr schwer nachzuvollziehen.

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Die Lösung beruht auf der Formel s = v * t , welche die Strecke angibt, die ein Körper bei gleichbleibender Geschwindigkeit v in der Zeit t zurücklegt. Aufgelöst nach t ergibt sich:

t = s / v

Diese Formel gibt nun die Zeit an, die ein Körper bei gleichbleibender Geschwindigkeit v benötigt, um die Strecke s zurückzulegen.

Außerdem wird angenommen, dass sich die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges v_F und die Windgeschwindigkeit (60 km/h) zur Gesamtgeschwindigkeit des Flugzeuges addieren. Dies entspricht auch der Realität.

Aufgrund obiger Formel ergeben sich daraus die beiden Flugzeiten

ohne Rückenwind (also nur mit Eigengeschwindigkeit):

t_ohne = 660 / v_F  

und mit Rückenwind (also mit der Summe aus Eigengeschwindigkeit und Windgeschwindigkeit)

t_mit = 660 / ( v_F + 60 )

Diese beiden Zeiten unterscheiden sich laut Aufgabenstellung um 0,1 h (wobei die Flugzeit mit Rückenwind natürlich die kürzere ist), also:

t_ohne - 0,1 = t_mit

Setzt man hier die genannten Terme für t_ohne bzw.  t_mit ein, erhält man:

( 660 / v_F ) - 0,1 = 660 / ( v_F + 60 )  

und daraus ergibt sich durch Auflösung nach v_F die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges.

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Schön erklärt

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... ganz hervorragend zum gedanklichen Nachvollzug!

Answer 2

Hi

 

s = 660 km; t_w = 6 min = 0,1 h; v_w = 60 km/h;

v_f: Geschwindigkeit des Flugzeugs

 

Aufstellen der Gleichung:

s / (v _f  +v_w) = s/v _f -t_w;

In Worten: Die Geschwindigkeit des Flugzeugs und des Winds addieren sich: v _f  +v_w. 
Das Flugzeug braucht für die Strecke normalerweise t₁ = s/v_f. Mit Wind braucht das Flugzeug aber nur noch t  ₂  =s/(v _f +v_w). t₂  ist also t₁-t_w, wobei tw die zeit ist, die das Flugzeug durch den Wind spart. 

t2 = t1 -tw; |einsetzen

s / (v_f +v_w) = s/v_f -t_w;

 

Jetzt nur noch ausrechnen:

s*v_f =  (s- t_w *v_f)  *(v_f +v_w);  

s*v_f = -t _w*v  _f  ^2   -t  _w  *v _w *v_f   +s*v_f +s*v_w;

-t_w *v_f^2  -t_w*v_f *v_w+s*v_f +s*v _w  -s*v_f   = 0;

-t_w*v_f^2  -t_w  *v _f *v_w   +s*v_w = 0;

v_f^2  +v_f *v  _w  -s* v_w/ t_w   = 0;

v_f^2 -v_f*60km/h -660*60/0,1 (km/h)^2 = 0;

Lösen der quadratischen Gleichung (hier nicht weiter aufgeführt, nur auf Nachfrage) liefert:

v_f1 = 600 km/h;

v_f2 ≈= -660 km/h;

 

Das Flugzeug fliegt also mit 600 km/h. (Die negative Lösung ist nicht sinnvoll.)

 

lg JR