Stetigkeit in Q zeigen

Question

zu zeigen ist, dass die Funktion $$ f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} $$ definiert durch $$ f(x):= \left\{\begin{array}{ll} 0, & falls & x < \sqrt{2} \\         1, & falls & x > \sqrt{2}\end{array}\right. $$ stetig ist.

Habe es mit dem Folgenkriterium versucht, erhalte für den Fall $$ x < \sqrt{2} $$ jedoch $$ |0|<\varepsilon $$ was mir falsch vorkommt. Wie sieht der Ansatz hierbei aus? Zudem ist der Wertebereich $$ \mathbb{Q} $$ und nicht $$ \mathbb{R} $$ Wie geht man damit um?

Gruß

Answer 1

Sei a ∈ ℚ  und a < √2 .       Dann gibt es eine ganze Umgebung

( etwa mit dem Radius  (√2  -   a) / 2 )

von a, in der alle Werte kleiner als √2  sind.   Die Funktion ist dort

konstant, also stetig.

Entsprechend für a>√2.

Comments

Bin an der selben Aufgabe, und habe dazu eine kurze Frage nun zu 

a >√2.

Könnte man hier nun gegensätzlich zu a <√2, die Umgebung von a mit dem Radius (

√2  + a / 2) nehmen, in der nun alle Werte größer als  

√2 sind?

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Die Idee ist OK, aber die Ausführung falsch:

Nimm mal a=3 dann ist bei Radius √2  + a / 2

ja z.B.    3 - (√2  +1,4 ) = 1,6-√2 sicherlich nicht

größer als √2 .

Es hängt letztlich von dem a ab. Wenn a<√2 ist, dann gibt es auch 

eine ganze Umgebung, in der alle Werte kleiner als √2  sind.

Entsprechend, wenn a >√2  .  Der Radius ist aber dann a - √2.

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Ah alles klar, vielen Dank. 

Mit den Radius a-√2 sehe ich dann auch, dass für alle a>√2, die Werte entsprechend größer als √2 sind. 

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So ist es. Also ist auch da die Funktion konstant.