Kurvendiskussion eines Kurvenverlaufs. f(x) = (x^{4}+x^{3}-x^{2}-x)/(x^{3}+3x+4)

Question

f(x) = (x^{4}+x^{3}-x^{2}-x)/(x^{3}+3x+4)
Ich würde gerne wissen, wie ich am besten die Nullstellen , Polstellen und vor allem die Definitionslücken rauskriege

Muss die Funktion für Nullstelle gleichsetzen(f(x)=0) -> Wie da vorgehen?

Bei der Polstelle muss ich mich irgendwie an den Nullstellen richten..

Asymptope (Zählergrad durch Nennergrad teilen(Vermutung x^4 / x^3)

Comments

Probiere zunächst mal die Teiler des Absolutgliedes aus, jeweils für Zähler und Nenner.

Answer 1

Faktorenzerlegung im Zähler; x⁴+x³-x²-x=x³(x+1)-x(x+1)=x(x²-1)(x+1)=x(x-1)(x+1)²

Faktorenzerlegung im Nenner: Eine Nullstelle x=-1 raten. Polynomdivision. Ergebnis x³+3x+4=(x²-x+4)(x+1).

Dann kürzen (x(x+1)(x-1))/(x²-4+4). Nullstellen (beide einfach) x=0, x=1. Polstelle keine (Nenner kann nicht 0 werden))  Definitionslücken x=-1 hebbar,

Answer 2

Das könnte vereinfacht so aussehen