Beweis Polynom null. Zeigen, dass Integral_(a)^{b} Phi_(m)(x) = 0

Question

\( \Phi_{m}(x)=\prod \limits_{i=0}^{m}\left(x-x_{i}\right) \)

Es seien \( m \) gerade, \( a<b, h:=(b-a) / m \) und \( x_{i}=a+i h \) für \( i=0, \ldots, m . \) Zeigen Sie, dass \( \int \limits_{a}^{b} \Phi_{m}(x)=0 \)

Tipp: Ziehen Sie sich auf [-1,1] zurick und / oder skizzieren Sie sich einige \( \Phi_{m} \).

Ansatz:

Ich hab den Tipp verwendet mit -1, 1, da ist es ja so, dass phi null ist, da phi eine ungerade Funktion ist. Dann wäre ja der Beweis schon fertig. Wenn ich jetzt aber versuche den Beweis der Aussage zu führen, komm ich nicht weiter.

Answer 1

Hi,

es gilt:

$$\int_{-1}^1 \phi_m(x) \ dx \\ = \int_{-1}^1 \prod_{i=0}^{m} (x-x_i) \ dx \\ = \int_{-1}^1 \prod_{i=0}^{m/2} (x-x_i) \cdot (x+x_i) \cdot x \ dx \\= \int_{-1}^1 \prod_{i=0}^{m/2} (x^3-x_i^2 \cdot x) \ dx$$

Nun sei

$$f(x)= \prod_{i=0}^{m/2} (x^3-x_i^2 \cdot x)$$

Es gilt, dass f(x)=-f(-x).

Somit ist das Integral von -1 bis 1 über f Null wegen der Symmetrie zum Ursprung.

Wie geht es weiter?

Tipp: Betrachte

$$ \int_{-\frac{b-a}{2}}^{\frac{b-a}{2}} f(x) ~ dx $$

Comments

$$\Phi_m(x)\overset{\huge?}=\prod_{i=0}^\frac m2(x^3-x_i^2\cdot x)$$

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x₀ = -1 und x_n = 1, die äquidistante Zerlegung und m gerade werden hier ausgenutzt.

Und ich frage mich wieso ich ein f eingeführt habe, ist ja immer noch Phi.

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Sollte \(\Phi_m\) nicht ein Polynom vom Grad \(m+1\) sein?

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Stimmt, danke.

$$\phi_m(x)= x \cdot \prod_{i=0}^{m/2} (x^2-x_i^2)$$

Jetzt ist es korrekt.

Also

$$\int_{-1}^1 \phi_m(x) \ dx = \int_{-1}^1 x \cdot \prod_{i=0}^{m/2} (x^2-x_i^2)$$

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Jetzt ist es korrekt. Sicher?

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$$\Phi_m(x) =x \cdot \prod_{i=0}^{m/2-1} (x^2-x_i^2)$$Nun aber. Falls nicht, kannst du auch gerne schreiben was falsch ist und es korrigieren, damit hier keine 100 Kommentare stehen.

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Aber ich versteh nicht so ganz, wie ich den Beweis führen soll, weil es soll ja a<b gelten

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Es gilt ja a<b. Wo geht deiner Meinung nach was schief?

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Achso, versteh:) 

Vielen lieben Dank nochmals!

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Bitte:)Hast du den Rest denn hinbekommen?

Answer 2

Es ist \(a=x_0\) (klar) und \(b=x_m\) (nachrechnen!). Danach könntest du \(b\)  ausrechnen. Dass \(\Phi_m(x)\) ungerade ist, weißt du ja bereits. Das sollte eigentlich schon ausreichen.