Denk-Challenge: Erschaffe die Zahlen 1 bis 30 mit den Ziffern 2, 0, 1 und 8

Question

Challenge: 

Erschaffe die Zahlen 1 bis 30 mit den Ziffern 2, 0, 1 und 8. 

Regeln: 

1. Jede Ziffer darf nur einmal benutzt werden. Es darf keine Ziffer ausgelassen werden.
2. Die Reihenfolge der Ziffern "2 0 1 8" muss in mindestens 25 der 30 Lösungen erhalten bleiben.
3. Erlaubte Operationen: +, -, ×, ÷, Fakultät, Potenzieren, Quadratwurzel
4. Klammern sind erlaubt.
5. Gruppieren der Ziffern ist erlaubt, zum Beispiel "20", "18" oder "201".
6. Beim Quadrieren braucht man die 2, demnach sind Terme wie "2²" oder "1²+8²" nicht erlaubt.
7. Modulo ist nicht erlaubt. 
8. Runden wie "201/8 = 25" ist nicht erlaubt. 
9. Nach Lösungen im Internet zu suchen, ist nicht erlaubt. Du sollst es selbstständig schaffen. Es ist eine Kreativitäts-Denk-Challenge, keine "Wer-kopiert-am-Besten"-Challenge! 

Viel Erfolg!

PS: Fordere auch deine Freunde heraus. Einfach den Kurzlink senden: https://www.mathelounge.de/504674

Comments

Ich fange an:

2·0·8 + 1 = 1

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Versuch bereits zu Beginn die Reihenfolge 2, 0, 1, 8 einzuhalten.

Zum Beispiel: 

1 = 2 - 0^{18}

oder

1 = 2^{0·1·8}

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Ist das auch erlaubt ?

2*0+18=18 ^^

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Regel 5!!!!!!!!!!!!!!!!!

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@jc2144: Ja, "2·0+18 = 18" ist gültig.

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\(2 = 2^0 + 1^8\)

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Was ist mit "5. Gruppieren der Ziffern ist erlaubt, zum Beispiel "21". " gemeint? 

Ziffern aus 2018 weglassen? Oder doch an der Reihenfolge schrauben? 

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Was ist mit "5. Gruppieren der Ziffern ist erlaubt, zum Beispiel "21". " gemeint?

Du darfst mehrere Ziffern zu einer Zahl zusammenfassen

2 + 0 + 18 = 20

2 + 018 = 20

20 - 18 = 2

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1. Müssen alle Ziffern in jeder Lösung vorkommen? In 5 Lösungen kann man das ja weglassen.

2. Hast Du, ML, eine Lösung für alle oder ist das wie in Folge 88 der Drei ??? und wir entschlüsseln  damit jemandes passwort?

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$$ 3=2+0+1^8 $$

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\(3= \sqrt[2+0]{1+8}\) wäre auch noch eine Möglichkeit :)

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"Müssen alle Ziffern in jeder Lösung vorkommen?"

Ja, es darf keine Ziffer ausgelassen werden. Habe ich oben ergänzt.

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@Bruce: Klasse Idee! 

Hier noch ein paar Beispiele von mir: 

1 = \( 2 - 0^{18} \)

2 = \( 20 - 18 \)

3 = \( \sqrt[2]{0+1+8} \)

4 = \( 2^{0-1} · 8 \) 

5 = \( -(2+0+1) + 8 \)

6 = \( -2+(0·1) + 8 \)

7 = \( 2·0 - 1 + 8 \)

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@Kai: Danke, sehe aber gerade, dass nur Quadratwurzeln erlaubt. Von daher geht meine Lösung ja eigentlich nicht :)

Auf die 4 komme ich irgendwie nicht.

Dafür gibt es hier die \(6= -2+0^1+8\) und die \(8=2^0-1+8\).

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Bruce: 8/2 + 0*1 und da warens nur noch 4

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@Bruce: Du hast doch eine Quadratwurzel. Passt.

Du meinst die 4 bei mir? Hier die Berechnung

$$ 2^{0-1} · 8 = 2^{-1} · 8 = \frac{1}{2^{1}} · 8 = \frac{8}{2}  = 4 $$

@MathFox: Versuche, die Reihenfolge einzuhalten ;-)

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@Kai: Ups, ich hatte eben die dritte Wurzel gezogen, es geändert und dann vergessen, dass ich es geändert habe.
Deine 4 ist in Ordnung. Meinte, dass ich selbst lange überlegt habe, aber keine Möglichkeit gefunden hatte die 4 darzustellen :)

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@Mathecoach

Was ist mit "5. Gruppieren der Ziffern ist erlaubt, zum Beispiel "21". " gemeint?

Du darfst 2 Ziffern zu einer Zahl zusammenfassen

2 + 0 + 18 = 20.

Ist 21 in Regel 5 somit falsch? 

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Ich habe das Beispiel oben korrigiert, damit es eindeutig ist: 

5. Gruppieren der Ziffern ist erlaubt, zum Beispiel "20", "18" oder "201".

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Darf man auch z.B. so gruppieren: 2.0, 0.1, 1.8 ?

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Ich würde nein sagen. Zumindest steht das nicht in den Regeln.

Ich denke die Regeln sind eine abschließende Aufzählung, sodass Gaussklammern etc. auch nicht verwendet werden dürfen.

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Ich verstehe. Dankeschön! Mal schauen, ob dann trotzdem jemand eine Lösung mit "richtiger Reihenfolge" der Ziffern \(2\), \(0\), \(1\) und \(8\) für die \(30\) hinbekommt. Oder einen Beweis dafür, dass das nicht geht ;-)

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Ich finde für die \(30\) nur eine Schummellösung in der richtigen Reihenfolge. Mal schauen, ob das jemand noch löst.

Wie sieht es aus mit Gruppierungen der Form $$\underbrace{\underbrace{2+0}_{2}\text{ }\underbrace{1+8}_{9}}_{29}$$ ?

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Natürlich ist das nicht erlaubt.

Du kommst auf Ideen.

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Ich möchte die \(30\) lösen, unbedingt! :-)

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Die 30 schaffst du, indem du "0,8" als ",8" schreibst ;-)

Also: \( 30 = \frac{(2 + 0! + 1)!}{ \color{#CCC}{0},8 } \)

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Gute Idee!

In den Spielregeln war aber das Komma in ,8 nicht als "erlaubt" aufgezählt. Mathematisch gehört ,8 nicht zum Standard.

Ausserdem müsste auch 2,0 , 0,1,  1,8 usw. erlaubt sein.

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Defacto haben wir das Komma weder erlaubt noch ausgeschlossen.

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In dem Sinn ist dein Vorschlag eine schöne, kreative Lösung. 

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Das meinte ich mit "Schummellösung". Deshalb schrieb ich auch: 

Darf man auch z.B. so gruppieren: 2.0, 0.1, 1.8 ?

Ich dachte mir nämlich, dass es auf so etwas rauslaufen muss. Meine nächste Frage wäre nämlich gewesen, ob dann auch Sachen wie \(.2, .1\) oder \(.8\) möglich sind ;-)

Defacto haben wir das Komma weder erlaubt noch ausgeschlossen.

Nach der Argumentation dürfte aber auch $$\underbrace{\underbrace{2+0}_{2}\text{ }\underbrace{1+8}_{9}}_{29}$$ möglich sein, denn nach Regel \(5\) ist das Gruppieren von Ziffern erlaubt und es ist nicht ausgeschlossen, dass es sich dabei um Ziffern von Zwischenergebnissen handelt :-)

Als Alternative zur \(30\) ginge auch

$$30=\sqrt{\dfrac{((2!+0+1!)!)!}{\color{#CCC}{0}.8}}\text{ bzw. }\sqrt{\dfrac{((2+0+1)!)!}{\color{#CCC}{0}.8}}$$

Ich danke Dir übrigens für dieses tolle Rätsel gleich zu Jahresbeginn ;-) So etwas kann hier ruhig öfter mal kommen (vlt. jeden Monat?)

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Wer erlaubt in der Mathematik die 0.8 als .8 zu schreiben?

.8 ist meiner Meinung nach kein gültiger Term in der Mathematik.Und nur das der Taschenrechner es zulässt macht es dann noch nicht zu einem gültigen Term.

Und wenn Modulo ausgeschlossen ist verwendet man einfach die Gaußklammer. Die wurde nämlich nicht ausgeschlossen. 

Fakt ist das solche Regeln überhaupt nur Sinn machen, wenn es sich um eine abschließende Aufzählung handelt. Das Sachen die dort nicht stehen auch automatisch verboten sind.

Ansonsten machen Regeln wie "4. Klammern sind erlaubt." keinen Sinn. Denn wenn es nicht dort stehen würde wären sie ja auch erlaubt.

Answer 1

ACHTUNG SPOILER!

Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet:

[spoiler]

1 = 2^{0·1·8}
2 = 2 + 0·1·8  = 20-18,
3 = 2 + 0 + 1^8,
4 = 2^0 + sqrt(1 + 8),
5 = -2 + 0-1 + 8
6 = (2 + 0 + 1^8)!
7 = 2·0-1 + 8
8 = 2·0·1 + 8
9 = 2·0 + 1 + 8
10 = 2 + 0·1 + 8
11 = 2 + 0 + 1 + 8
12 = 20-1·8
13 = 20 + 1-8
14 = 2·(0-1 + 8)
>> 15 = 2·8-1
16 = (2 + 0·1)·8
17  = 20-sqrt(1 + 8)
18 = (2 + 0)·(1 + 8)
19 = 20-1^8 = 2^0 + 18
20 = 2 + 0 + 18 = 2·(0! + 1 + 8)
21 = 20 + 1^8 = 2 + 0! + 18
>> 22 = 21 + 8^0
23 = 20 + sqrt(1 + 8)
24 = (2 + 0 + 1)·8
>> 25 = (2 + 1)·8 + 0!
>> 26 = 10 + 2·8
27 = 20-1 + 8
28 = 20 + 1·8
29 = 20 + 1 + 8
30 =  ((2 + 0!)!)!! - 18  oder 30 =  28 + 1 + 0!

[/spoiler]

Die fünf "Freischüsse" sind mit >> markiert.

und ein frohes neues Jahr!

Comments

Ohne das jetzt alles kontrolliert zu haben erstmal meine Hochachtung.

Und natürlich einen dicken Daumen nach oben für die respektvolle Leistung.

PS: Ich habe mal ein ACHTUNG SPOILER angefügt.

---

Vielen Dank für den/die Daumen :-)

[spoiler]

15=(2+0!)!+1+8

[/spoiler]

Da sind's nur noch 4 benötigte Freischüsse. Geht es auch ohne? Habt ihr vielleicht schon eine Darstellung für die übrigen Zahlen gefunden? 

---

Ich hätte für die \(26\) folgende Idee:

[spoiler]

\(2!+\left(\sqrt{\left(\sqrt{0!+1!}\right)^8}\right)!\)

bzw. 

\(2+\left(\sqrt{\left(\sqrt{0!+1}\right)^8}\right)!\)

Wenn die Konstruktion mit mehreren Quadratwurzeln erlaubt ist, kann ich auch die \(22\) und \(25\) lösen.

[/spoiler]

---

Es folgen \(22\) und \(25\) (die hat mich echt Nerven gekostet!):

[spoiler]

Die \(22\) kann man aus der \(26\) recht trivial konstruieren, da \(\underbrace{\left(\sqrt{\left(\sqrt{0!+1}\right)^8}\right)!}_{=24}\):

\(22=-2+\left(\sqrt{\left(\sqrt{0!+1}\right)^8}\right)!\)

\(25=\sqrt{\left(\sqrt{(2!+0!)!-1!}\right)^8}\)

bzw. 

\(25=\sqrt{\left(\sqrt{(2+0!)!-1}\right)^8}\)

[/spoiler]

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Gerade kam mir eine nette Idee, wie man ohne das Komma auskommen kann:

[spoiler]

$$ 30 = ((2+0!)!)!! - 18 $$

Dabei ist !! die Doppelfakultät

$$ (2+0!)! = 6 $$

$$ 6!! = 6*4*2 = 48 $$

[/spoiler]

So, wer schafft die 31?

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@EmNero: Unglaublich! Das war der Funke zur Besten Antwort. Glückwunsch! 

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Damit ist EmNero für mich als Mathematiker des Jahres 2018 nominiert.

Bis heute kannte ich nicht mal den Begriff der Doppelfakultät.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((2%2B0!)!)!!-18

Answer 2

Hier ein paar Varianten für die ersten zwölf Zahlen, es sind weitere Lösungen möglich.

Nicht weiterlesen, wenn du das Rätsel noch nicht selbst versucht hast.

[spoiler]

\( 1 = 2 - 0^{18} = (2·0·1·8)! \)

\( 2 = 20 - 18 = 2 - 0·1·8\)

\( 3 = \sqrt[2]{0+1+8} \)

\( 4 = 2^{0-1} · 8 \) 

\( 5 = -(2+0+1) + 8 \)

\( 6 = -2+(0·1) + 8 \)

\( 7 = 2·0 - 1 + 8 \)

\( 8 = 2·0·1 + 8 \)

\( 9 = 2·0 + 1 + 8 \)

\( 10 = 2 + 0·1 + 8 \)

\( 11 = 2 + 0 + 1 + 8 = 20 - 1 - 8 \)

\( 12 = 2 + 0! + 1 + 8 \)

[/spoiler]

Answer 3

Hier mal meine Liste:

[spoiler]

1 = 2+0-1^8

2 = 20 - 18

3 = 2 - 0 + 1^8

4 = √(-2 + 0 + 18)

5 = -2-0-1+8

6 = √((2+0)*18)

7 = -2 -0 + 1 + 8

8 = 2^0 - 1 + 8

9 = 2 - 0 - 1 + 8

10 = 2^0 + 1 + 8

11 = 20 - 1 - 8

12 = 20 - 1*8

13 = 20 + 1 - 8

14 = (2+0+1)! + 8

15 = -2 - 0! + 18

16 = -2 + 0 + 18

17 = -2^0 + 18

18 = 2*0 + 18

19 = 2^0 + 18

20 = 2 + 0 + 18

21 = 20 + 1^8

22 = 21 + 8^0  Reihenfolge Joker 1. 

23 = 20 + √(1+8)

24 = (√(-2 + 0 + 18))! 

25 = (√(-2 + 18))! + 0! Reihenfolge Joker 2. 

26 = 28 - 1 - 0! Reihenfolge Joker 3 .

27 = 20 - 1 + 8

28 = 20 + 1*8 

29 = 20 + 1 + 8

30 = 21 + 0! + 8 Reihenfolge Joker 4 . 

[/spoiler]

Alles Gute im 2018 !