Stetige Funktionen: f nimmt Maximum an

Question

Hallo

es sei $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ eine stetige Funktion mit $$ f(0)>0 $$ und $$ lim_{|x|\to\infty}f(x)= 0 $$ d.h für alle $$ \varepsilon > 0 $$ existiert ein $$ K>0 $$ sodass für alle x mit $$ |x|>K $$ auch $$ |f(x)|<\varepsilon $$ gilt. Zu zeigen ist, dass f ein Maximum annimmt.

Wie geht man hierbei vor? Es ist ja kein kompaktes Intervall angegeben.

Gruß

Answer 1

> Es ist ja kein kompaktes Intervall angegeben.

Dann such dir eines. Es gibt bestimmt ein Intervall [K₁,K₂] mit K₁ < 0 und K₂ > 0, so dass |f(x)| < f(0) für alle x ∈ ℝ\[K₁,K₂] gilt.

Comments

Finde kein Intervall, welches diese Voraussetzung erfüllt.

Zumindest ist in jedem Intervall auch x in $$ [K_1,K_2] $$ und somit die Einschränkung $$ x \in \mathbb{R}/[K_1,K_2] $$ nicht gegeben.

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> Zumindest ist in jedem Intervall auch x in [K₁,K₂]

Nein. [K₁,K₂] ist ein Intervall. In einem Intervall sind Zahlen. x ist keine Zahl, sondern ein Buchstabe. Also ist x nicht [K₁,K₂].

Erst dadurch, dass ich "x ∈ ℝ\[K₁,K₂]" gesagt habe, wird aus dem Buchstaben x eine Variable (also ein Bezeichner für eine Zahl). Ich habe dadurch auch eingeschränkt, für welche Zahlen der Buchstabe x stehen darf. Und zwar eben nicht für die Zahlen in [K₁,K₂].

Falls dich das x immer noch irritiert: Es gibt bestimmt ein Intervall [K₁,K₂] mit K₁ < 0 und K₂ > 0, so dass |f(z)| < f(0) für alle z ∈ ℝ\[K₁,K₂] gilt.

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So ein Intervall könnte doch $$ [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] $$ sein, wobei der exakte Funktionswert von $$ f(0) $$ nicht bekannt ist.

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> So ein Intervall könnte doch [−1/2,1/2] sein

Ja, könnte sein.

> wobei der exakte Funktionswert von f(0) nicht bekannt ist.

Und deshalb wird man Schwierigkeiten haben, so ein Intervall anzugeben, ohne die konkrete Funktion zu kennen.

Dass es aber so ein Intervall geben muss, das ergibt sich aus

        lim_|x|→∞ f(x) = 0.

Das heißt nämlich unter anderem:

        Für jedes ε > 0 existiert ein K > 0,
        so dass |f(x)| < ε für alle x > K ist.

Insbesondere heißt das, dass auch

        für ε = f(0)/2 ein K > 0 existiert,
        so dass |f(x)| < ε für alle x > K ist.

Jenseits von diesem K kann kein Supremum liegen, weil ja

        |f(x)| < ε = f(0)/2 < f(0) für alle x > K ist.

Wenn es ein Supremum gibt, dann muss es also im Intervall [-K, K] liegen. Weil dass Intervall [-K, K] abgeschlossen ist und f stetig ist, gibt es auf diesem Intervall ein Supremum und es ist das Maximum.