Aufgabe:
Es gibt einen einzigen Eigenwert \( \lambda=1 \) mit algebraischer Vielfachheit 2. Der Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda \) ist bestimmt durch die Lösung des Gleichungssystems \( \left(B-\lambda I_{2}\right) \cdot v= \left(\begin{array}{l}{0} \\ {0}\end{array}\right) . \) Es gilt
$$ B-\lambda I_{2}=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-1} & {-1} \end{array}\right)^{Z_{2}+Z_{1}}\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {0} & {0} \end{array}\right) $$
und somit ist \( v_{1}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1}\end{array}\right) \) der einzige Eigenvektor zu \( \lambda \) (geometrische Vielfachheit \( = \)
1). Wir brauchen einen weiteren verallgemeinerten Eigenvektor \( v_{2} \) zu \( \lambda . \) Diesen bestimmt man mit folgendem Ansatz (Jordankette):
$$ \left(B-\lambda I_{2}\right) v_{2}=v_{1}, \quad \text { also } \quad\left(\begin{array}{cc|c} {1} & {1} & {1} \\ {-1} & {-1} & {-1} \end{array}\right)^{Z_{2}+Z_{1}}\left(\begin{array}{cc|c} {1} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right) $$
Wir setzten also \( v_{2}=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {0}\end{array}\right) \) um einen linear unabhängigen Vektor zu erhalten.
Ansatz:
Es geht darum Eigenvektoren zum Eigenwert zu berechnen.
Den ersten Eigenvektor hat man leicht berechnet, nämlich v1 (1,-1)
Meine Frage lautet nun, wieso braucht man noch einen verallgemeinteren Vektor den man mit Jordankette berechnet?
Kann man nicht als weiteren Vektor einfach v2 (1,0) nehmen oder (0,1)?
