Differenz der Flächeninhalte von Dreiecken

Question

Gib auf zwei Nachkommastellen genau die Differenz der Flächeninhalte jener Dreiecke an, die durch folgende Angabestücke festgelegt sind: a= 54 mm c= 39 mm und γ= 38°

Answer 1

sin(γ)/c = sin(α)/a laut Sinussatz. Damit kannst du α berechnen. Es gibt zwei Lösungen im Intervall (0°;180°).

α+β+γ = 180° wegen Winkelsumme im Dreieck. Damit kannst du β berechnen.

sin(α)/a = sin(β)/b laut Sinussatz. Damit kannst du b berechnen.

F_Δ = √(u/2·(u/2-a)·(u/2-b)·(u/-c)) mit u = a+b+c laut Formel von Heron.

Subtrahiere die zwei Flächeninhalte, die wegen der zwei Werte für α zustande kommen.

Comments

Wie kommt man durch den sinussatz auf zwei verschiedene Lösungen?

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Vergleiche sin(45°) mit sin(135°).

Vergleiche sin(60°) mit sin(120°).

Vergleiche sin(30°) mit sin(150°).

Vergleiche sin(12,34°) mit sin(167,66°).

Stelle eine Regel auf. Begründe sie am Einheitskreis.

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Das ist mir klar jetzt, aber woher soll ich wissen, ob es jetzt ein alpha 1+2,beta 1+2 und gama 1+2 gibt. soll ich einfach 180° - alpha1, danach 180°- beta1 und 180°- gamma1 nehmen!?

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Es gibt ein γ. Und das ist 38°. Das steht so in der Aufgabenstellung.

Wegen Sinusatz gilt sin(38°)/39 = sin(α)/54, also

        sin(α) = sin(38°) · 54/39.

Somit ist

        α = arcsin(sin(38°) · 54/39) oder
        α = 180° - arcsin(sin(38°) · 54/39)

Zu jedem dieser α gibt es genau ein passendes β, und zwar wegen Winkelsumme im Dreieck. Weil die zwei α veschieden sind gibt es dann natürlich auch zwei verschiedene β. Es ist aber eindeutig, welches β zu welchem α passt.

Außerdem kannst du natürlich auch sin(γ)/c = sin(β)/b zur Berechnung von b vewenden. Und es gibt, wie gesagt, nur ein γ.

Außerem ist es sowieso egal, ob du das zu dem α passende β verwendest. Wenn α₁ = x ist, dann ist ja α₂ = 180° - x und wie du schon festgestellt hast ist

        sin(x) = sin(180° - x)

und somit

        sin(α₁) = sin(α₂).