Vektorraum über dem jeweiligen Körper

Question

Welche der folgenden Mengen sind zusammen mit der jeweils definierten Addition und skalaren
Multiplikation ein Vektorraum uber dem jeweiligen Körper? Begrunden Sie Ihre Antworten.

c) (V3, +, ·) als F5-Vektorraum mit V3 = { (0, 0, 0), (1, 2, 0), (2, 4, 0), (3, 1, 0), (4, 3, 0) } ⊆ F5^3 
und der komponentenweisen Addition +. Die skalare Multiplikation · ist für  m, x, y, z ∈ F5durch m · (x, y, z) = (mx, my, mz) definiert.
(d) (V4, +, ·) als F2-Vektorraum mit V4 = F2[X]/ ∼ mit f ∼ g, falls es ein Polynom h ∈ F2[X]gibt, so dass f −g = (X2+X +1)h gilt. Die Addition + und die skalare Multiplikation · sind die von der Addition und skalaren Multiplikation von F2[X] induzierten Verknüpfungen.

kann jmd. mir paar Tipps geben? ich komm leider nicht weiter.

MfG

Answer 1

c) Berechne a·v₁ und v₁ + v₂ für alle 25 Kombinationen aus a und  v₁ und für alle  25 Kombinationen aus v₁ und v₂. V₃ ist ein Vektorraum, wenn alle Ergebnisse in V₃ liegen.

Falls dir das zu langwierig ist, dann verwende das was du über Vektorräume und Körper weißt (F₅³ ist ein Vektoraum und F₅ ein Körper) um die Zahl der Additionen und Multiplikationen zu reduzieren. Damit kann man den Aufwand auf 12 Multiplikationen und 6 Additionen senken.

Comments

Hallo oswald,
Könntest du noch etwas zur Aufgabe D sagen?
Mein bisheriger Ansatz ist, dass ja f ~ g := f − g = (X^2+X +1)h = (X+X+1)h = (2X+1)h = h bedeutet?
Aber weiter komm ich auch nicht mehr...
Wäre auf jedenfall schön noch ein paar Ansätze zu hören.