Analysis, Summen, Induktion, Binomischer Lehrsatz mit sin und cos

Question

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$$ \cos (n z)=\sum \limits_{k=0}^{ \lfloor \frac{n}{2} \rfloor }(-1)^{k}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {2 k} \end{array}\right) \sin ^{2 k}(z) \cos ^{n-2 k}(z) \quad, n \in \mathbb{N}, z \in \mathbb{C} $$

Hinweis: Binomischer Lehrsatz und \( e^{i n z}=\left(e^{i z}\right)^{n} \)

Notation: Für eine reelle Zahl \( a \in \mathbb{R} \) ist \( \lfloor a \rfloor \) die grösste Zahl aus \( \mathbb{Z} \), die kleiner als \( a \) ist, d. h. \( \lfloor a \rfloor = \sup \{k \in \mathbf{Z}: k \leq a\} \)

Diese Frage scheint unnötig kompliziert zu sein und ich weiss nicht genau was ich machen soll.

Comments

Kann mir jemand bitte sagen ob meine Antwort richtig ist oder nicht?

Answer 1

der Ansatz steht schon da.

$$ e^{inz}=cos(nz)+isin(nz)=(e^{iz})^{n}=(cos(z)+isin(z))^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}{(isin(z))^n}cos(z)^{n-k} $$

Man erhält also die Gleichung

$$ cos(nz)+isin(nz)=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}{(isin(z))^n}cos(z)^{n-k} $$

Vergleiche nun den Realteil auf beiden Seite miteinander. Für welche k werden die Summanden rechts rein reell?