Funktionenscharen - Beliebige Zahl für k

Question

Ich habe folgenden Abschnitt im Internet gefunden:

Gegeben sei die Funktion f(x) = ( k · x ) : ( x2 + 1 ). Diese soll auf Nullstellen und Pole bzw. Lücken untersucht werden. Wir setzen im Anschluss k = 1. Danach geht es um Symmetrie (ab hier rechnen wir mit k = 1) sowie Hochpunkte und Tiefpunkte.

Kann man jetzt für k jede beliebige Zahl einsetzten?

Answer 1

Ja.
Ich hoffe die Funktion heißt so.
f ( x ) = ( k * x ) / ( x^2 + 1 )
Nullstelle : Zähler = 0
f ( 0 ) = ( k * 0 ) / ( 0^2 + 1 )
f ( 0 ) = 0 / 1 = 0

N ( 0 | 0 )

Polstelle : Nenner = 0
x^2 + 1 = 0
x^2 = -1
keine Lösung : eine Quadrat ist immer ≥ 0

Achsensymmetrie
f ( x ) = f ( -x )
( k * x ) / ( x^2 + 1 ) = ( k * -x ) / ((- x)^2 + 1 )
( k * x ) / ( x^2 + 1 ) = - ( k * x ) / ( x^2 + 1 )
keine Achsensymmetrie

Punktsymmetrie zum Ursprung
f ( x ) = - f ( -x )
( k * x ) / ( x^2 + 1 ) = - [ - ( k * x ) / ( x^2 + 1 ) ]
( k * x ) / ( x^2 + 1 ) = ( k * x ) / ( x^2 + 1 )
Stimmt.

Stellen mit waagerechter Tangente
f ( x ) = k * (  x ) / ( x^2 + 1 )
Quotientenregel
f ´( x ) = k * [ (1 * ( x^2+1)) - ( x * 2x )] / ( x^2 + 1 ) ^2

f ´( x ) = k * [ x^2 + 1 - 2x^2 ] / ( x^2 +1 )^2
f ´( x ) = k * [ -x^2 + 1] / ( x^2 +1 )^2

k * [ -x^2 + 1] / ( x^2 +1 )^2 = 0
Zähler = 0
( -x^2 + 1 ) = 0
-x^2 = -1
x^2 = 1
x = 1
und
x = -1

( x | f ( x ) ) noch ausrechnen

Und berechnen was Hoch- und Tiefpunkt ist.

Comments

Für welche x ∈ ℝ gilt
x = 1
und
x = -1 ?

Answer 2

Kann man jetzt für k jede beliebige Zahl einsetzten?

Es muss "einsetzen" heißen und für k soll man eben nicht jede beliebige Zahl einsetzen, sondern es wird ausdrücklich (und dies sogar zwei mal) k=1 gefordert!

Comments

Ja, das war mir klar, meine Frage war Allgemein auf Aufgaben mit einem k bezogen.

Tut mir Leid, dass ich das nicht ausdrücklich gesagt hatte....

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Ok, der Scharparameter k streckt den Graphen parallel zur y-Achse. Prinzipiell könnte man jede reelle Zahl für k einsetzen, wobei der Fall k=0 sicher eine Sonderstellung einnimmt.