Gegeben ist die Funktion \(fk(x)= 3x^3-kx^2+3kx\)
Ich soll \(k\) so wählen, dass der Graph von \(f_k\) genau eine waagerechte Tangente besitzt.
\(f'k(x)= 9x^2-2kx+3k\)
\(9x^2-2kx+3k=0|:9\)
\(x^2-\frac{2}{9}kx=-\frac{1}{3}k\) quadratische Ergänzung und 2.Binom
\((x-\frac{1}{9}k)^2=-\frac{1}{3}k+\frac{1}{81}k^2|±\sqrt{~~}\)
1.) und 2.)
\(x-\frac{1}{9}k=±\sqrt{\frac{1}{81}k^2-\frac{1}{3}k}\)
Diskriminante muss 0 werden
\(\frac{1}{81}k^2-\frac{1}{3}k=0\)
\(k^2-27k=0\) Satz vom Nullprodukt
\(k_1=0\)
\(k_2=27\)
