Aufgabe zu Funktionenscharen mit Parametern

Question

Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sonnenkollektoren wandeln Licht in Wärme um, die an den Wasserspeicher abgeführt wird.
Die benötigte Kollektorfläche hängt linear vom Volumen des Speichers ab. Bei einer Speichertemperatur von 45°C wird für 200l eine Kollektorfläche von 3m^2 , für 500l von 7m^2 empfohlen.
Pro Person wird mit einem Warmwasserverbrauch von t (in l) 40 kleiner gleich t kleiner gleich 70 am Tag gerechnet. Das Speichervolumen sollte 50% über den täglichen Verbrauch liegen.

a) Bestimmen sie den Term einer Funktionenschar f_t,die der Personenzahl x die Kollektorfläche zuordnet

b) Wie groß sollte die Kollektorfläche bei einem 4-Personen Haushalt mit einem tägl. Pro-Kopf-Verbrauch von 59l sein?

Da der Satz „Die benötigte Kollektorfläche hängt linear vom Volumen des Speichers ab“ zeigt, dass zwischen beiden eine lineare Abhängigkeit existieren muss, habe ich zunächst eine allgemeine Funktion aufgestellt (A steht für die Kollektorfläche, V ist das Volumen des Speichers): A = m*V+c mir der Steigung m und irgendeiner Konstante c.

Das heißt, ich kann als Nächstes die Gleichungen 3 = m*0,2+c und 7=m*0,5+c aufstellen und m und c berechnen. Das ergibt m = 40/3 und c = 1/3.

Zusätzlich weiß ich, dass V = 2/3t gilt, da das Volumen 50% über dem täglichen Verbrauch liegen soll.

Das heißt, es ergibt sich die Funktion f(t) = 40/3*2/3t+1/3, die in Abhängigkeit von dem Verbrauch die Kollektorfläche angibt.

Da nun die Funktion allerdings abhängig von der Personenanzahl sein muss, muss sie allerdings schließlich f_t(x)=x(40/3*2/3t+1/3) lauten.

Allerdings ergibt das für b) dann ca. 3,1m^2, und das muss in Anbetracht beider Beispiele  falsch sein. Wo habe ich einen Fehler gemacht?

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Hallo Max,

Zusätzlich weiß ich, dass V = 2/3t gilt, da das Volumen 50% über dem täglichen Verbrauch liegen soll.

Umgekehrt! \(V = \frac 32 t\). Das Volumen \(V\) soll ja größer sein, als der tägliche Warmwasserverbrauch \(t\).

Das heißt, es ergibt sich die Funktion f(t) = 40/3*2/3t+1/3, die in Abhängigkeit von dem Verbrauch die Kollektorfläche angibt.

Ist dann $$f(t) = \frac {40}3 \cdot \frac 32 \frac t{1000} + \frac 13 = \frac 1{50} t + \frac 13$$

\(f(t)\) ist die Fläche in Quadratmetern und \(t\) der tägliche Warmwasserverbrauch in Litern, daher die Division durch 1000.

Da nun die Funktion allerdings abhängig von der Personenanzahl sein muss, muss sie allerdings schließlich f_t(x)=x(40/3*2/3t+1/3) lauten.

Dieser Schluß ist falsch. Nach obiger linearer Funktion beträgt die Kollektorfläche immer noch 1/3 m², wenn die Anzahl der Personen und damit der Warmwasserverbrauch gleich Null ist. Es hat ja nicht jede Person einen eigenen Kollektor, sondern alle Personen im Haushalt zusammen nur einen.

Der Warmwasserbedarf \(t(x)\) im Haus ist proportional zur Anzahl der Personen$$t(x) = k \cdot x, \quad 40 \frac {\text l}{\text P} \le k \le 70 \frac {\text l}{\text P}$$

Einsetzen in \(f(t) = \dots\) (s.o.) ergibt:$$f(x) = \frac k{50} x + \frac 13 $$ Das gibt bei b) mit \(x=4\) und \(k = 59 \text l/\text P\)$$f(4) = \frac {59}{50} \cdot 4 + \frac 13 \approx 5,05 $$Probe: tägl. Verbrauch \(t = 4 \cdot 59 = 236 \text l\). Das Speichervolumen soll 50% größer sein \(V = 1,5 \cdot 236 \text l = 354 \text l\). Einsetzen in den empfohlenen Kollektorbedarf

~plot~ {200|3};{500|7};x=354;[[-50|600|-1|8]];(40/3)*(x/1000)+1/3 ~plot~

sind ca. 5m². Macht also Sinn.

Comments

Vielen Dank, das hat mir wahnsinnig weitergeholfen!

Answer 2

( x | y )
( 200 | 3 )
( 500 | 7 )
m = ( 7 -3 ) / ( 500 - 200 )
m = 4 / 300 = 0.01333
Einsetzen
3 = 0.01333 *200 + b
b = 0.0334

A = 0.01333 * x + 0.0334

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort, aber ich kann überhaupt nicht nachvollziehen, wie mir das weiterhelfen soll.

Wo liegt mein Fehler?

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Hallo Max,
Die benötigte Kollektorfläche hängt linear vom Volumen des Speichers ab. Bei einer Speichertemperatur von 45°C wird für 200l eine Kollektorfläche von 3m2 , für 500l von 7m2 empfohlen.
A ( V ) = m * V + b
( x | y )
( V | A )
( 200 | 3 )
( 500 | 7 )
Berechnung als lineare Funktion
( Gerade )
m, und b wurden oben ausgerechnet.

Die anderen Fragen schaue ich mir noch einmal an und lasse dann was von mir
hören.

mfg Georg

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t = Verbrauch in liter pro Tag für 1 Person
40 < t < 70
Sicherheit 50 %
Verbrauch insgesamt
x = Anzahl der Personen
V = t * 1.5 * x
Fläche Kollektor
A ( V ) = 0.01333 * V + 0.0334

f _t ( x ) = ( t * 1.5 * x )  * 0.01333 + 0.0334

Hier der Graph für t = 40, 55, 70
und Anzahl der Persionen x = 1...5
Kollektorfläche 1 .. 7 m^2

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f _t ( x ) = ( t * 1.5 * x )  * 0.01333 + 0.0334
f ₅₉ ( 4 ) = ( 59 * 1.5 * 4 )  * 0.01333 + 0.0334
4.75 m^2

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Vielen Dank, das hat mir sehr weitergeholfen!