Konstruktion einer gebrochen rationale funktion

Question

 Bestimmen Sie eine gebrochen-rationale Funktion y=f(x) mit den folgenden Eigenschaften
i), ii) und iii):
i) Die Funktion hat eine einfache Nullstellen bei x1 =4 und eine doppelte Nullstelle bei x2=1
ii) Die Funktion hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x3 =-1und eine Polstelle
ohne Vorzeichenwechsel bei x4=2 .
iii) f(0) = 6
Weitere Nullstellen und Pole liegen nicht vor.
Bestimmen sie eine Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Funktionsverlauf.

Habe Probleme bei dieser Aufgabenstellung, bitte um Hilfe :-(

Answer 1

> einfache Nullstellen bei x1 =4

In den Zähler kommt (x-4).

> eine doppelte Nullstelle bei x2=1 

In den Zähler kommt (x-1)².

> eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x3 =-1

In den Nenner kommt (x+1).

> eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x4=2

In den Nenner kommt (x-2)².

Bis jetzt haben wird (x-4)·(x-1)²/( (x+1)·(x-2)² )

Setzt man x = 0 ein, dann bekommt man -1. Es soll aber ...

> f(0) = 6 

... 6 rauskommen. Also multipliziert man das ganze noch mit -6.

        \(f(x) = -\frac{6(x-4)(x-1)^2}{(x+1)(x-2)^2}\)

> Weitere Nullstellen und Pole liegen nicht vor.

Nullstellen der Funktion müssen Nullstellen des Zählers sein. Der Zähler hat Nullstellen nur bei 1 und bei 4.

Polstellen der Funktion müssen Nullstellen des Nenners sein. Der Nenner hat Nullstellen nur bei -1 und bei 2.

Also liegen weitere Nullstellen und Pole nicht vor.

Answer 2

f(x) - 6·(x - 4)·(x - 1)^2/((x + 1)·(x - 2)^2)

~plot~ - 6*(x-4)*(x - 1)^2/((x+1)*(x - 2)^2);[[-10|10|-50|50]] ~plot~

Schau dir mal die Funktion an und schau wo du deine Merkmale wiederfindest.